L'inégalité de Hardy -Littlewood est un théorème d'analyse à plusieurs variables d'après lequel, si f et g sont des fonctions Lebesgue -mesurables de ℝn dans [0, +∞] et si f* et g* sont leurs réarrangements symétriques décroissants , alors[ 1] , [ 2]
∫ R n f g d λ ≤ ∫ R n f ∗ g ∗ d λ , {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}fg~\mathrm {d} \lambda \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}g^{*}~\mathrm {d} \lambda ,} où λ désigne la mesure de Lebesgue sur ℝn .
Dans le cas particulier où f et g sont des fonctions indicatrices , compte tenu de la propriété ( I A ) ∗ = I A ∗ {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {I} _{A})^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}} , l'inégalité à démontrer se réécrit
λ ( A ∩ B ) ≤ λ ( A ∗ ∩ B ∗ ) {\displaystyle \lambda (A\cap B)\leq \lambda (A^{*}\cap B^{*})} et vient du fait que si, par exemple λ(A ) ≤ λ(B ) , alors A * ⊂ B * donc
λ ( A ∩ B ) ≤ λ ( A ) = λ ( A ∗ ) = λ ( A ∗ ∩ B ∗ ) . {\displaystyle \lambda (A\cap B)\leq \lambda (A)=\lambda (A^{*})=\lambda (A^{*}\cap B^{*}).} Pour en déduire le cas général, on utilise que pour toute fonction positive f et tout réel r , si l'on note [f > r ] l'ensemble de sur-niveau associé, c'est-à-dire
[ f > r ] = { x | f ( x ) > r } , {\displaystyle [f>r]=\{x~|~f(x)>r\},}
on a :
f ( x ) = ∫ 0 ∞ I [ f > r ] ( x ) d r . {\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>r]}(x)~\mathrm {d} r.}
Grâce au théorème de Fubini , on obtient ainsi[ 1] , [ 2] :
∫ R n f ( x ) g ( x ) d x = ∫ R n ( ∫ 0 ∞ I [ f > r ] ( x ) d r ) ( ∫ 0 ∞ I [ g > s ] ( x ) d s ) d x = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ λ ( [ f > r ] ∩ [ g > s ] ) d r d s ≤ ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ λ ( [ f > r ] ∗ ∩ [ g > s ] ∗ ) d r d s = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ λ ( [ f ∗ > r ] ∩ [ g ∗ > s ] ) d r d s = ∫ R n ( ∫ 0 ∞ I [ f ∗ > r ] ( x ) d r ) ( ∫ 0 ∞ I [ g ∗ > s ] ( x ) d s ) d x = ∫ R n f ∗ ( x ) g ∗ ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)~\mathrm {d} x&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>r]}(x)~\mathrm {d} r\right)\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g>s]}(x)~\mathrm {d} s\right)~\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f>r]\cap [g>s])~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&\leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f>r]^{*}\cap [g>s]^{*})~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f^{*}>r]\cap [g^{*}>s])~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f^{*}>r]}(x)~\mathrm {d} r\right)\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g^{*}>s]}(x)~\mathrm {d} s\right)~\mathrm {d} x\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)~\mathrm {d} x.\end{aligned}}}
↑ a et b (en) Elliott H. Lieb et Michael Loss , Analysis , AMS , 2001 , 2e éd. , 346 p. (ISBN 978-0-8218-2783-3 , lire en ligne ) , p. 82 ↑ a et b (en) Almut Burchard , A Short Course on Rearrangement Inequalities , juin 2009 (lire en ligne ) , p. 5