Inégalité matricielle linéaire — Wikipédia

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En optimisation convexe, une inégalité matricielle linéaire (Linear matricial inequality ou LMI) est une expression de la forme

${\displaystyle LMI(y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\succeq 0\,}$

où

• ${\displaystyle y=[y_{i}\,,~i\!=\!1\dots m]}$ est un vecteur réel,
• ${\displaystyle A_{0}\,,A_{1}\,,A_{2}\,,\dots \,A_{m}}$ sont dans l'ensemble ${\displaystyle S_{n}(\mathbb {R} )}$ des matrices symétriques,
• ${\displaystyle B\succeq 0}$ signifie que ${\displaystyle B}$ est une matrice semi-définie positive appartenant au sous-ensemble ${\displaystyle S_{n}^{+}(\mathbb {R} )}$ de l'ensemble des matrices symétriques ${\displaystyle S_{n}(\mathbb {R} )}$.

Cette inégalité matricielle linéaire caractérise un ensemble convexe selon y.

Il existe des méthodes numériques de résolution des LMI performantes pour déterminer notamment leur faisabilité (i.e., s'il existe au moins un vecteur ${\displaystyle y}$ tel que ${\displaystyle LMI(y)\geq 0}$), ou pour effectuer une optimisation convexe sous contrainte LMI. La résolution de LMI s'effectue généralement en reformulant le problème sous la forme d'un problème d’optimisation SDP.

Un résultat important en optimisation convexe provient de l'introduction de la méthode du point intérieur. Cette méthode et ses dérivées ont été développées dans une série de publications et sont devenues le centre de l'attention dans le contexte de la résolution des problèmes LMI, notamment dans les travaux de Yurii Nesterov et Arkadii Nemirovskii.

De nombreux problèmes d'optimisation en théorie du contrôle, identification de système et traitement du signal peuvent être formulés grâce à des LMI.

• Y. Nesterov and A. Nemirovsky, Interior Point Polynomial Methods in Convex Programming. SIAM, 1994.

• S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory (book in pdf)

• C. Scherer and S. Weiland, Course on Linear Matrix Inequalities in Control, Dutch Institute of Systems and Control (DISC).
• M. Barreau, Stabilité et stabilisation de systèmes linéaires à l’aide d’inégalités matricielles linéaires, LAAS - CNRS.

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