Lemme d'Artin-Rees — Wikipédia
Le lemme d'Artin-Rees (aussi connu sous le nom de « théorème d'Artin-Rees ») est un théorème d'algèbre commutative, qui sert notamment à démontrer la propriété de platitude de la complétion (en) des modules de type fini sur un anneau noethérien. Le théorème d'intersection de Krull s'en déduit.
Énoncés
[modifier | modifier le code]Le lemme s'énonce comme suit.
Lemme d'Artin-Rees — Soient A un anneau commutatif noethérien, I un idéal de A, M un A-module de type fini, et N un sous-module de M. Alors il existe un entier k tel que
On en déduit le théorème suivant.
Théorème d'intersection de Krull — Soient A un anneau commutatif noethérien, I un idéal de A, et M un A-module de type fini. Alors l'intersection
est égale à l'ensemble des tels que pour un certain . De plus, il existe un tel α indépendant de ces .
Corollaires
[modifier | modifier le code]Les deux corollaires suivants se déduisent immédiatement, respectivement, du lemme d'Artin-Rees et du théorème d'intersection de Krull.
Corollaire 1 — Soient A un anneau commutatif noethérien et I, J deux idéaux de A. Alors il existe un entier h tel que
Corollaire 2 — Soient A un anneau commutatif noethérien et I un idéal de A. Alors l'intersection
est nulle si et seulement si aucun élément de 1+I n'est diviseur de zéro dans A.
En particulier,
- si I est contenu dans le radical de Jacobson de A alors l'intersection est nulle ;
- lorsque A est intègre, l'intersection est nulle si et seulement si I est un idéal propre (c'est-à-dire distinct de A).
Démonstrations
[modifier | modifier le code]Démonstration du lemme
[modifier | modifier le code]La démonstration ci-dessous est essentiellement celle de Bourbaki (due en fait à Cartier) et a été reprise par Lang.
Dans l'anneau de polynômes A[X], considérons la sous-A-algèbre
A étant noethérien, I est un idéal de type fini de A et B est une A-algèbre de type fini. C'est donc un anneau noethérien.
Notons
et définissons de même . Ainsi, est un sous-A[X]-module de , en particulier un sous-B-module.
Définissons un autre sous-B-module de :
Comme M est un A-module de type fini, est un B-module de type fini, donc noethérien. Le sous-B-module est donc engendré par un nombre fini de vecteurs. Soit k un entier majorant le degré en X de tous ces vecteurs. Alors,
d'où, pour tout ,
ce qui donne l'inclusion dans un sens. Celle dans l'autre sens est immédiate.
Démonstration du théorème
[modifier | modifier le code]Notons . Si un vecteur x de M est tel qu'il existe un élément α de I pour lequel (1-α)x=0 alors x=αnx pour tout entier n>0, donc x appartient à N. Pour la réciproque, remarquons que d'après le lemme, N=IN. Le lemme de Nakayama permet de conclure.
Références
[modifier | modifier le code]- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chapitre III, § 3
- (en) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, coll. « GTM » (no 150), § 5.1 et § 5.3
- Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chap. VI, exercices 2 et 3
- (en) Oscar Zariski et Pierre Samuel, Commutative algebra, vol. I, chap. IV, § 7