Position des plans principaux dans les différentes configurations possibles Une lentille épaisse est une lentille dont l'épaisseur n'est pas négligeable devant les rayons de courbure de ses faces, c'est-à-dire qu'on ne peut pas la considérer comme une lentille mince . La prise en compte de l'épaisseur dans les calculs nécessite d'utiliser les systèmes centrés . Les foyers objet et image sont notamment définis à partir des plans principaux .
Dans les conditions de Gauss , une lentille épaisse sphérique peut être modélisée par un système centré de points principaux objet H {\displaystyle H} et image H ′ {\displaystyle H'} . Compte tenu du fait que la lentille est plongée dans un seul et même milieu, les points nodaux objet N {\displaystyle N} et image N ′ {\displaystyle N'} sont confondus avec les points principaux respectivement H {\displaystyle H} et H ′ {\displaystyle H'} .
n {\displaystyle n} : indice de réfraction de la lentille. n 0 {\displaystyle n_{0}} : indice de réfraction du milieu environnant la lentille. e = S 1 S 2 ¯ {\displaystyle e={\overline {S_{1}S_{2}}}} : épaisseur de la lentille (m). R 1 = S 1 C 1 ¯ {\displaystyle R_{1}={\overline {S_{1}C_{1}}}} : rayon de courbure de la première face (m) ; R 2 = S 2 C 2 ¯ {\displaystyle R_{2}={\overline {S_{2}C_{2}}}} : rayon de courbure de la seconde face (m). p = H A ¯ {\displaystyle p={\overline {HA}}} : position de l'objet (m) ; p ′ = H ′ A ′ ¯ {\displaystyle p'={\overline {H'A'}}} : position de l'image (m). f = H F ¯ {\displaystyle f={\overline {HF}}} : distance focale objet (m) ; f ′ = H ′ F ′ ¯ {\displaystyle f'={\overline {H'F'}}} : distance focale image (m). V {\displaystyle V} : vergence (δ). Tracé faisant apparaître le centre optique O Un rayon incident dans une direction donnée qui passe le centre optique O {\displaystyle O} ressort de la lentille dans la même direction.
S 1 O ¯ = R 1 R 1 − R 2 ⋅ e {\displaystyle {\overline {S_{1}O}}={\frac {R_{1}}{R_{1}-R_{2}}}\cdot e} S 2 O ¯ = R 2 R 1 − R 2 ⋅ e {\displaystyle {\overline {S_{2}O}}={\frac {R_{2}}{R_{1}-R_{2}}}\cdot e}
Rayons et points particuliers S 1 {\displaystyle S_{1}} et S 2 {\displaystyle S_{2}} étant les sommets des faces d'entrée et de sortie de la lentille, la position des points principaux H {\displaystyle H} et H ′ {\displaystyle H'} sont définies par[ 1] :
S 1 H ¯ = n 0 . R 1 . e ( n 0 − n ) . e + n . ( R 1 − R 2 ) = − f ′ . ( n − n 0 ) . e n . R 2 {\displaystyle {\overline {S_{1}H}}={\frac {n_{0}.R_{1}.e}{(n_{0}-n).e+n.(R_{1}-R_{2})}}=-{\frac {f'.(n-n_{0}).e}{n.R_{2}}}} ; S 2 H ′ ¯ = n 0 . R 2 . e ( n 0 − n ) . e + n . ( R 1 − R 2 ) = − f ′ . ( n − n 0 ) . e n . R 1 {\displaystyle {\overline {S_{2}H'}}={\frac {n_{0}.R_{2}.e}{(n_{0}-n).e+n.(R_{1}-R_{2})}}=-{\frac {f'.(n-n_{0}).e}{n.R_{1}}}} .
La vergence de la lentille s'exprime[ 1] :
V = n 0 f ′ = − n 0 f = ( n − n 0 ) ( 1 R 1 − 1 R 2 ) + ( n − n 0 ) 2 n e R 1 . R 2 {\displaystyle V={\frac {n_{0}}{f'}}=-{\frac {n_{0}}{f}}=(n-n_{0})\,\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)+{\frac {(n-n_{0})^{2}}{n}}\,{\frac {e}{R_{1}.R_{2}}}} . Les distances focales objet et image sont égales en valeur absolue : f ′ = − f {\displaystyle f'=-f} .
Démonstration
On peut assez facilement retrouver cette formule à l'aide de la formule de Gullstrand selon laquelle
V = V 1 + V 2 − e n V 1 V 2 {\displaystyle V=V_{1}+V_{2}-{\frac {e}{n}}\,V_{1}\,V_{2}} , où
V 1 = n − n 0 R 1 {\displaystyle V_{1}={\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}} et
V 2 = n 0 − n R 2 {\displaystyle V_{2}={\frac {n_{0}-n}{R_{2}}}} sont les vergences des dioptres sphériques successifs.
V = n − n 0 R 1 + n 0 − n R 2 − e n n − n 0 R 1 n 0 − n R 2 {\displaystyle V={\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}+{\frac {n_{0}-n}{R_{2}}}-{\frac {e}{n}}\,{\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}\,{\frac {n_{0}-n}{R_{2}}}} V = n 0 f ′ = − n 0 f = ( n − n 0 ) ( 1 R 1 − 1 R 2 ) + ( n − n 0 ) 2 n e R 1 . R 2 {\displaystyle V={\frac {n_{0}}{f'}}=-{\frac {n_{0}}{f}}=(n-n_{0})\,\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)+{\frac {(n-n_{0})^{2}}{n}}\,{\frac {e}{R_{1}.R_{2}}}}
La relation de conjugaison qui relie la position de l'objet A {\displaystyle A} sur l'axe optique principal et celle de son image A ′ {\displaystyle A'} est la même que celle du système centré[ 1] :
1 p ′ − 1 p = 1 f ′ {\displaystyle {\frac {1}{p'}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{f'}}} . Les positions p {\displaystyle p} et p ′ {\displaystyle p'} sont définies par rapport aux points principaux, et non par rapport au centre optique comme cela devient le cas dans la simplification effectuée pour les lentilles minces .
↑ a b et c Eugène Hecht (trad. de l'anglais), Optique , Paris, Pearson Education France, 2005 , 4e éd. , 715 p. (ISBN 2-7440-7063-7 ) , p. 258 Systèmes élémentaires Combinaisons optiques de base Simples Doublets Triplets
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