En mathématiques , les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite [ 1] (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810[ 2] , [ 3] , et par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités , et apparaissent aussi en 1859 dans un article de Pafnouti Tchebychev [ 4] , cinq ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs .
Ces polynômes apparaissent dans de nombreux champs d'application :
Les polynômes d'Hermite sont définis comme suit :
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}} (forme dite probabiliste ) H ^ n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}} (forme dite physique ) Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante : H ^ n ( x ) = 2 n / 2 H n ( x 2 ) {\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x)=2^{n/2}H_{n}\left(x\,{\sqrt {2}}\right)\,\!} .
Ils peuvent également s'écrire sous forme de développement polynomial[ 5] :
H n ( x ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k n ! 2 k k ! ( n − 2 k ) ! x n − 2 k {\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\dfrac {n!}{2^{k}k!(n-2k)!}}x^{n-2k}} H ^ n ( x ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k n ! k ! ( n − 2 k ) ! ( 2 x ) n − 2 k {\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\dfrac {n!}{k!(n-2k)!}}(2x)^{n-2k}} où ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor } désigne la partie entière de n /2 .
Polynômes d'Hermite Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :
H 0 = 1 {\displaystyle H_{0}=1~} H 1 = X {\displaystyle H_{1}=X~} H 2 = X 2 − 1 {\displaystyle H_{2}=X^{2}-1~} H 3 = X 3 − 3 X {\displaystyle H_{3}=X^{3}-3X~} H 4 = X 4 − 6 X 2 + 3 {\displaystyle H_{4}=X^{4}-6X^{2}+3~} H 5 = X 5 − 10 X 3 + 15 X {\displaystyle H_{5}=X^{5}-10X^{3}+15X~} H 6 = X 6 − 15 X 4 + 45 X 2 − 15 {\displaystyle H_{6}=X^{6}-15X^{4}+45X^{2}-15~} H ^ 0 = 1 {\displaystyle {\widehat {H}}_{0}=1~} H ^ 1 = 2 X {\displaystyle {\widehat {H}}_{1}=2X~} H ^ 2 = 4 X 2 − 2 {\displaystyle {\widehat {H}}_{2}=4X^{2}-2~} H ^ 3 = 8 X 3 − 12 X {\displaystyle {\widehat {H}}_{3}=8X^{3}-12X~} H ^ 4 = 16 X 4 − 48 X 2 + 12 {\displaystyle {\widehat {H}}_{4}=16X^{4}-48X^{2}+12~} H ^ 5 = 32 X 5 − 160 X 3 + 120 X {\displaystyle {\widehat {H}}_{5}=32X^{5}-160X^{3}+120X~} H ^ 6 = 64 X 6 − 480 X 4 + 720 X 2 − 120 {\displaystyle {\widehat {H}}_{6}=64X^{6}-480X^{4}+720X^{2}-120~} On peut démontrer que dans Hp les coefficients d'ordre ayant la même parité que p – 1 sont nuls et que les coefficients d'ordre p et p – 2 valent respectivement 1 et –p (p – 1) ⁄2 .
Le polynôme H p est de degré p . Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure μ de densité
d μ ( x ) d x = e − x 2 / 2 2 π , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu (x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}},} c'est-à-dire qu'ils vérifient :
∫ − ∞ + ∞ H n ( x ) H m ( x ) e − x 2 / 2 d x = n ! 2 π δ n , m {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{n,m}} où δ n , m {\displaystyle \delta _{n,m}} est le symbole de Kronecker . On a de même pour la forme physique :
∫ − ∞ + ∞ H ^ n ( x ) H ^ m ( x ) e − x 2 d x = 2 n n ! π δ n , m . {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {H}}_{n}(x){\widehat {H}}_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{n,m}.} Démonstration
On suppose m ≥ n . On obtient le résultat par n intégrations par parties (en utilisant, pour chacune, la nullité en ±∞ d'un polynôme multiplié par e − x 2 / 2 {\displaystyle {\rm {e}}^{-x^{2}/2}} ) :
∫ − ∞ + ∞ H n ( x ) H m ( x ) e − x 2 / 2 d x = ( − 1 ) m ∫ − ∞ + ∞ ( d m d x m e − x 2 / 2 ) H n ( x ) d x = ( − 1 ) m − n ∫ − ∞ + ∞ ( d m − n d x m − n e − x 2 / 2 ) H n ( n ) ( x ) d x = ( − 1 ) m − n n ! ∫ − ∞ + ∞ d m − n d x m − n e − x 2 / 2 d x = { si m > n : 0 si m = n : n ! ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 / 2 d x = n ! 2 π . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x&=(-1)^{m}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\right)H_{n}(x)\,\mathrm {d} x\\&=(-1)^{m-n}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\mathrm {d} ^{m-n}}{\mathrm {d} x^{m-n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\right)H_{n}^{(n)}(x)\,\mathrm {d} x\\&=(-1)^{m-n}n!\,\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} ^{m-n}}{\mathrm {d} x^{m-n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x\\&={\begin{cases}{\text{si }}m>n~:&0\\{\text{si }}m=n~:&n!\,\int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}.\end{cases}}\end{aligned}}} Le résultat pour la forme physique s'obtient par un changement de variables.
Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert L 2 ( R , μ ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mu )} des fonctions boréliennes telles que
∫ − ∞ + ∞ | f ( x ) | 2 e − x 2 / 2 2 π d x < + ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}\,{\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,\mathrm {d} x<+\infty } dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale
⟨ f , g ⟩ = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) g ( x ) ¯ e − x 2 / 2 2 π d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,{\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,\mathrm {d} x.\,} Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.
Le n -ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique) :
H n ″ ( x ) − x H n ′ ( x ) + n H n ( x ) = 0 , {\displaystyle H_{n}''(x)-xH_{n}'(x)+nH_{n}(x)=0,\,} H ^ n ″ ( x ) − 2 x H ^ n ′ ( x ) + 2 n H ^ n ( x ) = 0. {\displaystyle {\widehat {H}}_{n}''(x)-2x{\widehat {H}}_{n}'(x)+2n{\widehat {H}}_{n}(x)=0.\,} Les polynômes d'Hermite vérifient également la relation de récurrence suivante :
H n + 1 ( x ) = x H n ( x ) − n H n − 1 ( x ) , {\displaystyle H_{n+1}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x),\,} H ^ n + 1 ( x ) = 2 x H ^ n ( x ) − 2 n H ^ n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}(x)-2n{\widehat {H}}_{n-1}(x).\,} En outre, ils satisfont la propriété :
H n ′ ( x ) = n H n − 1 ( x ) , {\displaystyle H_{n}'(x)=nH_{n-1}(x),\,} H ^ n ′ ( x ) = 2 n H ^ n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\widehat {H}}_{n}'(x)=2n{\widehat {H}}_{n-1}(x).\,} Démonstration
On fait la démonstration avec la forme physique. D'après la formule de Leibniz :
d n + 1 d x n + 1 e − x 2 = d n d x n ( − 2 x e − x 2 ) = − 2 x d n d x n e − x 2 − 2 n d n − 1 d x n − 1 e − x 2 {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n+1}}{{\rm {d}}x^{n+1}}}e^{-x^{2}}={\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(-2xe^{-x^{2}}\right)=-2x{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{-x^{2}}-2n{\frac {{\rm {d}}^{n-1}}{{\rm {d}}x^{n-1}}}e^{-x^{2}}} ce qui, multiplié par le facteur gaussien, donne :
H ^ n + 1 ( x ) = 2 x H ^ n − 2 n H ^ n − 1 {\displaystyle {\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}-2n{\widehat {H}}_{n-1}} Ce qui est une des propriétés de récurrence recherchées.
On dérive ensuite l'expression H ^ n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{-x^{2}}} , ce qui donne :
H ^ n + 1 ( x ) = 2 x H ^ n − H ^ n ′ {\displaystyle {\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}-{\widehat {H}}'_{n}} De ce qui précède, on tire H ^ n ′ ( x ) = 2 n H ^ n − 1 ( x ) {\displaystyle {\widehat {H}}_{n}'(x)=2n{\widehat {H}}_{n-1}(x)} , ce qui nous permet enfin de passer la propriété de récurrence déjà trouvée à l'autre.
Le résultat pour la forme mathématique s'obtient par un changement de variables.
Un développement de Taylor à l'ordre n {\displaystyle n} de H n {\displaystyle H_{n}} autour de x {\displaystyle x} donne les formules suivantes :
H n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x k H n − k ( y ) {\displaystyle H_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}H_{n-k}(y)} H ^ n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( 2 x ) k H ^ n − k ( y ) {\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(2x)^{k}{\widehat {H}}_{n-k}(y)} Les polynômes d'Hermite interviennent dans la définition des fonctions d'Hermite-Gauss, utiles en physique quantique ou en optique :
ψ n ( x ) = c n H ^ n ( x ) e − x 2 / 2 {\displaystyle \psi _{n}(x)=c_{n}{\widehat {H}}_{n}(x)\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}} et la formule d'orthogonalité des polynômes d'Hermite pour la mesure μ {\displaystyle \mu } (démontrée plus haut) assure que, en prenant c n = ( 2 n n ! π ) − 1 / 2 {\displaystyle c_{n}=(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}} , les fonctions d'Hermite-Gauss forment bien une famille orthonormale dans L 2 ( R , d x ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)} :
∫ − ∞ + ∞ ψ n ( x ) ψ m ( x ) d x = δ n m {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm}} La famille des fonctions ψ n {\displaystyle \psi _{n}} est utilisée en physique quantique comme étant la famille des fonctions d'onde des états propres de l'oscillateur harmonique quantique .
Les fonctions d'Hermite vérifient l'équation différentielle ψ n ″ ( x ) + ( 2 n + 1 − x 2 ) ψ n ( x ) = 0 {\displaystyle \psi _{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi _{n}(x)=0} , et elles héritent des polynômes d'Hermite les propriétés de récurrence :
ψ n ′ ( x ) = n / 2 ψ n − 1 ( x ) − ( n + 1 ) / 2 ψ n + 1 ( x ) {\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {n/2}}~\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {(n+1)/2}}~\psi _{n+1}(x)} x ψ n ( x ) = n / 2 ψ n − 1 ( x ) + ( n + 1 ) / 2 ψ n + 1 ( x ) {\displaystyle x\;\psi _{n}(x)={\sqrt {n/2}}~\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {(n+1)/2}}~\psi _{n+1}(x)} . Enfin, cette famille de fonctions présente un autre intérêt majeur dans le cadre de l'analyse de Fourier : en notant F {\displaystyle {\mathcal {F}}} la transformation de Fourier (avec la convention F [ g ] ( ω ) = 1 / 2 π ∫ g ( t ) e i ω t d t {\displaystyle {\mathcal {F}}[g](\omega )=1/{\sqrt {2\pi }}\int \,g(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t} ), elle forme une base hilbertienne de L 2 ( R ) {\displaystyle {\rm {L}}^{2}(\mathbb {R} )} formée de vecteurs propres de F {\displaystyle {\mathcal {F}}} :
F [ ψ n ] = i n ψ n {\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi _{n}]=\mathrm {i} ^{n}\,\psi _{n}} On notera que cette formule n'est exacte qu'en prenant le polynôme d'Hermite sous sa forme physique, et avec la convention de transformation de Fourier explicitée ci-dessus. En utilisant une autre convention, les valeurs propres changent : par exemple avec F b i s [ g ] ( ω ) = ∫ g ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{bis}[g](\omega )=\int \,g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t} on obtiendra F b i s [ ψ n ] = 2 π ( − i ) n ψ n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathrm {bis} }[\psi _{n}]={\sqrt {2\pi }}(-\mathrm {i} )^{n}\,\psi _{n}} . La forme fréquentielle de la transformée de Fourier F f r e q [ g ] ( f ) = ∫ g ( t ) e − 2 i π f t d t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathrm {freq} }[g](f)=\int \,g(t)\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi ft}\mathrm {d} t} sera plus volontiers diagonalisable avec des fonctions légèrement modifiées, ϕ n ( x ) = 2 1 / 4 ( n ! ) − 1 / 2 e − π x 2 H n ( 2 x π ) = ( 2 π ) 1 / 4 ψ ( 2 π x ) {\displaystyle \phi _{n}(x)=2^{1/4}({\sqrt {n!}})^{-1/2}\,{\rm {e}}^{-\pi x^{2}}H_{n}(2x{\sqrt {\pi }})=(2\pi )^{1/4}\psi ({\sqrt {2\pi }}x)} , pour lesquelles on aura F f r e q [ ϕ n ] = ( − i ) n ϕ n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathrm {freq} }[\phi _{n}]=(-\mathrm {i} )^{n}\,\phi _{n}} .
↑ C. Hermite , « Sur un nouveau développement en série de fonctions », C. R. Acad. Sci. Paris , vol. 58, 1864 , p. 93–100, 266-273 (lire en ligne ) , reproduit in Œuvres II , 293–308. ↑ Laplace 1810 (online ). ↑ P.-S. Laplace , Théorie analytique des probabilités , vol. 2, 1812 , 194–203 p. (lire en ligne ) ↑ P. L. Chebyshev , « Sur le développement des fonctions à une seule variable », Bull. Acad. Sci. St. Petersb. , vol. 1, 1859 , p. 193–200 , reproduit in Œuvres I , 501–508. ↑ (en) Bibhuti Bhusan Saha, « On a generating function of Hermite polynomials », Yokohama Mathematical Journal , 1969 , p. 73-76 (lire en ligne )