Théorème de Fréchet-Kolmogorov — Wikipédia

En analyse fonctionnelle, le théorème de Fréchet-Kolmogorov (noms auxquels on adjoint parfois Riesz ou Weil) donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions soit relativement compact dans l'espace $L p (λ)$ , où $λ$ désigne la mesure de Lebesgue sur ℝⁿ. Il constitue une variante $L p$ du théorème d'Ascoli.

Énoncé

Soient p un nombre réel supérieur ou égal à 1 et B un sous-ensemble de $L p (λ)$ .

Cette partie B est relativement compacte si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément :

B est bornée,
$\lim _{r\to \infty }\int _{\|x\|>r}\left|f\right|^{p}{\rm {d}}\lambda =0$ uniformément par rapport à $f \in$ B,
$\lim _{a\to 0}\|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}=0$ uniformément par rapport à $f \in$ B, où $τ a f$ désigne la translatée de $f$ par $a$ , c'est-à-dire $τ a f (x) = f (x - a)$ .

Démonstration

Puisque $L p$ est complet, B est relativement compact si et seulement s'il est précompact.

Sachant que les trois propriétés sont vraies si B est un singleton, on en déduit facilement qu'elles le restent si B est un précompact.

Réciproquement, supposons que B satisfait les trois propriétés et montrons qu'il est précompact. D'après l'hypothèse 2, il suffit de démontrer que pour tout compact K de ℝⁿ, l'ensemble B_|K des restrictions à K d'éléments de B est précompact.

Pour tout $r > 0$ , notons :

$B r$ la boule de ℝⁿ de centre 0 et de rayon $r$ ;
$V r = λ(B r)$ son volume ;
$μ r$ la mesure de probabilité de Lebesgue sur cette boule : $μ r (A) = V r -1 λ(A \cap B r)$ ;
$\forall f\in {\rm {L}}^{p}(\lambda )\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\quad f_{r}(x)=\int \tau _{x}f{\rm {d}}\mu _{r}.$

D'après l'inégalité de Jensen ou celle de Hölder, pour une mesure de probabilité, la norme $L p$ est une fonction croissante de $p$ . En appliquant le théorème de Fubini, on en déduit : ${\begin{aligned}\|f_{r}-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p}&\leq \int \left\|\tau _{x}f-f(x)\right\|_{{\rm {L}}^{1}(\mu _{r})}^{p}{\rm {d}}\lambda (x)\\&\leq \int \left\|\tau _{x}f-f(x)\right\|_{{\rm {L}}^{p}(\mu _{r})}^{p}{\rm {d}}\lambda (x)\\&=\int \|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p}{\rm {d}}\mu _{r}(a)\\&\leq \sup _{\|a\|<r}\|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p},\end{aligned}}$

ce qui garantit au passage que $f r \in L p$ mais montre surtout que (d'après l'hypothèse 3) $\lim _{r\to 0^{+}}\|(f_{r})_{|K}-f_{|K}\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}=0$ uniformément par rapport à $f \in$ B, si bien que pour démontrer la précompacité (pour la norme $L p$ ) de B_|K, il suffit de vérifier, pour tout $r > 0$ , celle de l'ensemble $\{(f_{r})_{|K}\mid f\in B\}.$ Il est même précompact pour la norme de la convergence uniforme sur $K$ car le théorème d'Ascoli s'applique. On montre en effet qu'en tout point $x$ , cet ensemble est :

équicontinu d'après l'hypothèse 3 car (en réutilisant la croissance des normes) ${\begin{aligned}|f_{r}(y)-f_{r}(x)|&\leq \|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{1}(\mu _{r})}\\&\leq \|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{p}(\mu _{r})}\\&\leq (V_{r})^{-1/p}\|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}\\&=(V_{r})^{-1/p}\|\tau _{y-x}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}~;\end{aligned}}$
borné d'après l'hypothèse 1 car (par un calcul analogue) $|f_{r}(x)|\leq (V_{r})^{-1/p}\|f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}.$

Références

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 72
Marcel Riesz, « Sur les ensembles compacts de fonctions sommables », Acta Sci. Math., vol. 6,‎ 1933, p. 136-142 (lire en ligne)
(en) Harald Hanche-Olsen et Helge Holden, « The Kolmogorov-Riesz compactness theorem », Expositiones Mathematicae, vol. 28,‎ 2010, p. 385-394 (arXiv 0906.4883)
(en) Radu Precup, Methods in Nonlinear Integral Equations, Springer, 2002 (ISBN 978-1-40200844-3, lire en ligne), p. 21-22 — en supposant que B est à support borné
(en) Kōsaku Yosida, Functional Analysis, Springer, 2013 (lire en ligne), p. 275-277 — en dimension n = 1

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