Théorème de Koecher-Vinberg — Wikipédia
En algèbre d'opérateurs, le théorème de Koecher-Vinberg est un théorème de reconstruction pour les algèbres de Jordan réelles. Il a été prouvé indépendamment par Max Koecher en 1957[1] et Ernest Vinberg en 1961[2]. Il permet d'établir une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et des objets appelés « domaines de positivité ».
Énoncé
[modifier | modifier le code]Un cône convexe est dit :
- régulier si quand et sont dans l'adhérence ;
- autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual ;
- homogène si pour tout couple de points il existe une application linéaire dont la restriction à est une bijection et qui vérifie .
Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.
Théorème — Il existe une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et les cônes convexes ayant les propriétés suivantes :
- ouvert ;
- régulier ;
- homogène ;
- autodual.
Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « cônes symétriques (en) ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle est l'intérieur de son cône « positif » .
Preuve
[modifier | modifier le code]Voir Koecher 1999[3] ou Faraut et Korányi 1994[4].
Références
[modifier | modifier le code]- (de) Max Koecher, « Positivitätsbereiche im Rn », Amer. J. Math., vol. 97, no 3, , p. 575-596 (DOI 10.2307/2372563).
- (en) E. B. Vinberg, « Homogeneous Cones », Soviet. Math. Dokl., vol. 1, , p. 787-790.
- (en) Max Koecher, The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications, Springer, , 173 p. (ISBN 3-540-66360-6, lire en ligne).
- (en) Jacques Faraut et Adam Korányi, Analysis on Symmetric Cones, Oxford University Press, .