Transformation de Tietze — Wikipédia
En théorie des groupes, et notamment en théorie combinatoire des groupes, les transformations de Tietze sont utilisées pour transformer une présentation d'un groupe donnée en une autre, souvent plus simple, du même groupe. Ces transformations portent le nom du mathématicien autrichien Heinrich Tietze qui les a introduites dans un article publié en 1908[1].
Principe
[modifier | modifier le code]Une présentation est définie en termes de générateurs et relations ; formellement, une présentation est un couple formé d'un ensemble dont les éléments sont appelés les générateurs et d'un ensemble de mots du groupe libre sur les générateurs qui sont interprétées comme relations. Les transformations de Tietze sont composées d'étapes élémentaires dont chacune séparément transforme de manière plutôt évidente la présentation en une présentation d'un groupe isomorphe.
Étapes élémentaires
[modifier | modifier le code]Une étape élémentaire peut opérer sur les générateurs ou sur les relations. Elles sont de quatre types.
Ajouter une relation
[modifier | modifier le code]Une relation qui peut être déduite des relations existantes peut être ajoutée à la présentation sans changer le groupe. Ainsi, soit par exemple une présentation du groupe cyclique d'ordre 3. Si on multiplie les deux côtés de par , on obtient , on a donc et cette relation peut être ajoutée sans modifier le groupe, ce qui donne la présentation du même groupe.
Supprimer une relation
[modifier | modifier le code]Si une relation peut être dérivée des autres relations d'une présentation, elle peut être enlevée. Ainsi, on peut enlever la relation de la présentation de ; en revanche, si on enlève la relation , on a la présentation du groupe cyclique d'ordre 6, ce qui ne définit pas le même groupe.
Ajouter un générateur
[modifier | modifier le code]Pour une présentation donnée, on peut ajouter un générateur qui s'exprime par un mot en les générateurs originaux. Ainsi, en commençant avec , et avec , on a une nouvelle présentation du même groupe.
Supprimer un générateur
[modifier | modifier le code]Si on peut trouver une relation où un des générateurs est un mot en les autres générateurs, alors ce générateur peut être supprimé. Pour cela, on remplace toutes les occurrences du générateur supprimé par son mot équivalent. Ainsi, la présentation du groupe abélien élémentaire (en) d'ordre 4 peut être remplacée par en supprimant .
Exemple
[modifier | modifier le code]Soit
une présentation du groupe symétrique d'ordre 3. Le générateur correspond à la permutation (1,2,3) et à (2,3). Par les transformations de Tietze, cette présentation peut être convertie en
où correspond à (1,2). Voici les étapes de la transformation :
présentation de départ règle 3 : ajout du générateur z règles 1 et 2 : ajout de et suppression de règle 4 :suppression de
Notes et références
[modifier | modifier le code]Articles liés
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- Roger C. Lyndon et Paul E. Schupp, Combinatorial Group Theory, Springer, , 339 p. (ISBN 3-540-41158-5, lire en ligne).
- Heinrich Tietze, « Über die topologische Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 19, , p. 1-118.