Catalan-állandó – Wikipédia
![]() | A matematika megoldatlan problémája: A Catalan-állandó irracionális? És ha az, vajon transzcendens is? (A matematika további megoldatlan problémái) |
A matematikában a G Catalan-állandó időnként a kombinatorikai becslésekben fordul elő. Definíciója:
ahol β a Dirichlet-féle bétafüggvény. Numerikus értéke közelitően[1]
- G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …
Nem ismeretes, hogy a G vajon irracionális szám-e, arról nem is beszélve, hogy transzcendens-e.
Az állandót Eugène Charles Catalan (1814–1894) belga matematikusról nevezték el.
Integrálazonosságok
[szerkesztés]- .
és
ahol K(x) egy teljes első fajú elliptikus integrál.[2]
Alkalmazás
[szerkesztés]A G többnyire a kombinatorikában fordul elő, valamint a második poligamma-függvény értékeiben, melyet trigamma-függvénynek is hívnak (tört argumentummal):
Simon Plouffe (1956) kanadai matematikus egy végtelen azonossággyűjteményt szerkesztett, a trigamma-függvény és a Catalan-állandó között; ezek az összefüggések gráfokkal kifejezhetőek. A G feltűnik a hiperbolikus metsző típusú eloszlásban is.
Gyorsan konvergáló sorozatok
[szerkesztés]A következő két képlet gyorsan konvergáló sorozatokat tartalmaz, ezért alkalmas numerikus számításokra:
és
Az ilyen sorozatok elméleti alapjai Broadhursttől (első képlet),[3] illetve Srínivásza Rámánudzsantól (második képlet)[4] származnak. A Catalan-állandó gyors számítási algoritmusát Jekatyerinya Karacuba alkotta.[5][6]
Számjegyeinek száma
[szerkesztés]A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma drámai módon emelkedett az utóbbi évtizedekben. Ez részben a számítógépek teljesítménynövekedésének, másrészt hatékonyabb algoritmusok kidolgozásának köszönhető.[7]
A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma:
Dátum | Tizedesjegyek | A számítást végezte: |
---|---|---|
1832 | 16 | Thomas Clausen |
1858 | 19 | Carl Johan Danielsson Hill |
1864 | 14 | Eugène Charles Catalan |
1877 | 20 | James W. L. Glaisher |
1913 | 32 | James W. L. Glaisher |
1990 | 20 000 | Greg J. Fee |
1996 | 50 000 | Greg J. Fee |
1996. aug. 14. | 100 000 | Greg J. Fee & Simon Plouffe |
1996. szept. 29. | 300 000 | Thomas Papanikolaou |
1996 | 1 500 000 | Thomas Papanikolaou |
1997 | 3 379 957 | Patrick Demichel |
1998. jan. 4. | 12 500 000 | Xavier Gourdon |
2001 | 100 000 500 | Xavier Gourdon & Pascal Sebah |
2002 | 201 000 000 | Xavier Gourdon & Pascal Sebah |
2006. okt. | 5 000 000 000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8] |
2008. aug. | 10 000 000 000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[9] |
2009. jan. 31. | 15 510 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan[10] |
2009. ápr. 16. | 31 026 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan[10] |
April 6, 2013 | 100 000 000 000 | Robert J. Setti |
June 7, 2015 | 200 000 001 100 | Robert J. Setti[11] |
Irodalom
[szerkesztés]- E.A. Karatsuba: Fast evaluation of transcendental functions. (hely nélkül): , Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4. 1991.
- Bradley, David M: A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". (hely nélkül): The Ramanujan Journal 3 (2). 1999.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Zéta-állandó
- Gamma-eloszlás
- Matematikai állandók
- Eloszlásfüggvény
- Statisztika
- http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html
- http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html
Források
[szerkesztés]- ↑ http://www.gutenberg.org/etext/812
- ↑ Elliptikus függvények, 2022. július 6. [2022. április 19-i dátummal az eredetiből archiválva].
- ↑ D.J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067
- ↑ B.C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I., Springer Verlag (1985)
- ↑ E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions, Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp.339-360 (1991)
- ↑ E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W.Krämer, J.W.von Gudenberg, eds.; pp. 29-41, (2001)
- ↑ Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation
- ↑ Shigeru Kondo's website. [2008. február 11-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2008. január 31.)
- ↑ Constants and Records of Computation
- ↑ a b Large Computations
- ↑ Catalan's constant records using YMP