Dirichlet-konvolúció – Wikipédia
A Dirichlet-konvolúció a matematikában egy két operandusú művelet a számelméleti függvényeken. A német Peter Gustav Lejeune Dirichlet kezdte el felhasználni a számelméletben.
Definíció
[szerkesztés]Ha f és g számelméleti függvények, akkor Dirichlet-konvolúciójuk f ∗ g, ahol
és az összegzés végigfut n pozitív osztóin, vagy ekvivalensen az (a, b) pozitív számpárokon, melyeknek szorzata n.
Tulajdonságai
[szerkesztés]A számelméleti függvények halmaza egységelemes kommutatív gyűrűt alkot a pontonkénti összeadásra és a Dirichlet-konvolúcióra. Ez a Dirichlet-gyűrű. A gyűrű egységeleme az az ε függvény, ami 1-ben 1-et, a többi helyen 0-t vesz fel. A gyűrű egységei, azaz invertálható elemei azok a számelméleti függvények, amelyek 1-ben nullától különböző értéket vesznek fel.
Speciálisan, a Dirichlet-konvolúció asszociatív:
- (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),
disztributív az összeadásra
- f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h = (g + h) ∗ f,
kommutatív
- f ∗ g = g ∗ f,
és egységeleme a fent definiált ε:
- f ∗ ε = ε ∗ f = f.
Továbbá, ha f olyan számelméleti függvény, hogy f(1) ≠ 0, akkor van egy g számelméleti függvény, hogy 1=f ∗ g = ε. Ez az f függvény Dirichlet-inverze.
Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív, továbbá a multiplikatív függvény invertálhatók, és inverzük is multiplikatív.
Ha f teljesen multiplikatív, akkor 1=f(g ∗ h) = (fg) ∗ (fh), ahol a melléírás a pontonkénti szorzást jelöli. Két teljesen multiplikatív függvény Dirichlet-konvolúciója multiplikatív, de nem mindig teljesen multiplikatív.
Példák
[szerkesztés]Ezekben a képletekben
- ε a Dirichlet-konvolúció identitásfüggvénye. (ε(1) = 1, a többi értéke 0.)
- 1 a konstans 1 minden n-re. (1(n) = 1.) Fontos megjegyezni, hogy 1 nem az identitás.
- 1C, ahol az indikátorfüggvények halmaza. (1C(n) = 1 ha n ∈ C, 0 különben.)
- Id az identitásfüggvény n. (Id(n) = n.)
- Idk a k. hatványfüggvény. (Idk(n) = nk.)
- 1 ∗ μ = ε (a konstans 1 függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény.) Ennélfogva
- g = f ∗ 1 akkor és csak akkor, ha 1=f = g ∗ μ (a Möbius-féle megfordítási formula).
- λ ∗ μ = ε ahol λ a Liouville-függvény.
- λ ∗ 1 = 1Sq ahol Sq = {1, 4, 9, ...} a négyzetszámok halmaza
- Idk ∗ (Idk μ) = ε
- σk = Idk ∗ 1 a σk osztóösszeg-függvény
- σ = Id ∗ 1 az 1=σ = σ1 függvény definíciója
- d = 1 ∗ 1 az 1=d(n) = σ0 függvény definíciója
- Idk = σk ∗ μ a σk, σ, és d Möbius-inverziója
- Id = σ ∗ μ
- 1 = d ∗ μ
- d3 ∗ 1 = (d ∗ 1)2
- φ ∗ 1 = Id
- Jk ∗ 1 = Idk A Jordan-függvény.
- (IdsJr) ∗ Js = Js + r
- σ = φ ∗ d Bizonyítás: Konvolváljuk 1-et az Id = φ ∗ 1 egyenlet két oldalával.
- Λ ∗ 1 = log ahol Λ a von Mangoldt-függvény.
Dirichlet-inverz
[szerkesztés]Ha f számelméleti függvény, akkor Dirchlet-inverze rekurzívan számítható a definíció alapján.
n = 1 esetén:
- (f ∗ g) (1) = f(1) g(1) = ε(1) = 1, így
- g(1) = 1/f(1). Eszerint, ha f(1) = 0, akkor az inverz nem létezik.
n = 2-re:
- (f ∗ g) (2) = f(1) g(2) + f(2) g(1) = ε(2) = 0,
- g(2) = −1/f(1) (f(2) g(1)),
n = 3-ra:
- (f ∗ g) (3) = f(1) g(3) + f(3) g(1) = ε(3) = 0,
- g(3) = −1/f(1) (f(3) g(1)),
n = 4-re:
- (f ∗ g) (4) = f(1) g(4) + f(2) g(2) + f(4) g(1) = ε(4) = 0,
- g(4) = −1/f(1) (f(4) g(1) + f(2) g(2)),
Általában, n > 1-re:
Mivel a számítás során csak f(1)-gyel kell osztani, azért az invertálhatóság egyetlen kritériuma az, hogy f(1) ≠ 0.
Táblázat ismert szám, elméleti függvények Dirichlet-inverzéről:
Számelméleti függvény | Dirichlet-inverz |
---|---|
Konstans 1 függvény | μ Möbius-függvény |
λ Liouville-függvény | μ| abszolút értéke |
Dirichlet-sor
[szerkesztés]Ha f számelméleti függvény, akkor Dirichlet-sorának generátorfüggvénye
azokra a komplex s argumentumokra, amelyekre a függvény konvergál. A Dirichlet-sorok szorzása illeszkedik a számelméleti függvények konvolúciójához:
minden olyan s-re, amire mindkét bal oldali sor konvergál, és legalább az egyik abszolút konvergens. Mindkét sor egyszerű konvergenciája ugyanis nem biztosítja a jobb oldal konvergenciáját. Ez a konvolúciótétel analogonja, ha a Dirichlet-sort megfeleltetjük a Fourier-sornak.
Források
[szerkesztés]- * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
- Chan Heng Huat. Analytic Number Theory for Undergraduates, Monographs in Number Theory. World Scientific Publishing Company (2009). ISBN 981-4271-36-5
- Hugh L. Montgomery. Multiplicative number theory I. Classical theory, Cambridge tracts in advanced mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 38. o. (2007). ISBN 0-521-84903-9
- „A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion”, 13–23. oldal
- „Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer”, 66–80. oldal
- „The number of unitary divisors of an integer”, 879–880. oldal
- „On an integers' infinitary divisors”, 395–411. oldal
- „Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer”, 373–383. oldal
- (2003) „The Möbius function: generalizations and extensions”. Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 6, 77–128. o.
- Unitarism and Infinitarism, 2004. [2015. február 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. november 20.)