A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg.
Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták .[ 1] [ 2] A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is.
A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer .
Egy P {\displaystyle P} pont r , θ , φ {\displaystyle r,\theta ,\varphi } gömbi koordinátái és a gömbkoordinátákkal együtt használt Descartes-koordináta-rendszer x , y , z {\displaystyle x,y,z} tengelyei Egy gömbi koordináta-rendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:
egy O {\displaystyle O} középpont, origó egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík egy rögzített irány az egyenlítősíkon Gyakran egy Descartes-féle koordináta-rendszert is használnak a gömbi koordináta-rendszerrel együtt. Ekkor:
annak origója a gömbi koordináta-rendszer origója annak pólustengelye a z -tengely (így az x és y -tengelyek az egyenlítősíkban vannak annak x -tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y -tengely is egyértelműen meghatározott A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:
r {\displaystyle r} a sugár, a pont origótól mért távolsága θ {\displaystyle \theta } vagy ϑ {\displaystyle \vartheta } ,[ 3] polárszög vagy polártávolságszög,[ 4] a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög 0 {\displaystyle 0} és π {\displaystyle \pi } közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg. φ {\displaystyle \varphi } vagy ϕ {\displaystyle \phi } ,[ 3] azimutszög,[ 4] az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága − π {\displaystyle -\pi } -től π {\displaystyle \pi } -ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól 2 π {\displaystyle 2\pi } -ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög megfelelője. Minden ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordináta-rendszerben:
x = r ⋅ sin θ ⋅ cos φ y = r ⋅ sin θ ⋅ sin φ z = r ⋅ cos θ {\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}} Ezekbe az egyenletekbe bármely r {\displaystyle r} , θ {\displaystyle \theta } és φ {\displaystyle \varphi } koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: r {\displaystyle r} nemnegatív, θ {\displaystyle \theta } értéke [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} illetve [0, 180°] eleme, és φ {\displaystyle \varphi } a ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} illetve (−180°, 180°], vagy a [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )} illetve [0, 360°) intervallumba esik. Vannak pontok, melyeknek így is többféleképpen koordinátázhatók. A z -tengely pontjai esetén φ {\displaystyle \varphi } tetszőleges. Az origó számára θ {\displaystyle \theta } is tetszőleges. Az egyértelműség kedvéért rögzíthetjük, hogy φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} , és az origó esetén θ = 0 {\displaystyle \theta =0} .
A többi pont esetén a fentiek szerint választott Descartes-koordináta-rendszerben adott ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} koordinátáikból az ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} gömbkoordináták a következőképpen számíthatók:[ 5]
r = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle {r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} θ = arccos z x 2 + y 2 + z 2 = arccos z r = arcctg z x 2 + y 2 {\displaystyle {\theta }=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\ =\arccos {\frac {z}{r}}\ =\ \operatorname {arcctg} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}} φ = arctg2 ( y , x ) = { arctg ( y x ) , ha x > 0 , sgn ( y ) π 2 , ha x = 0 , arctg ( y x ) + π , ha x < 0 ∧ y ≥ 0 , arctg ( y x ) − π , ha x < 0 ∧ y < 0. {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} (y,x)={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{, ha }}x>0,\\\operatorname {sgn}(y){\frac {\pi }{2}}&{\text{, ha }}x=0,\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{, ha }}x<0\land y\geq 0,\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{, ha }}x<0\land y<0.\end{cases}}} Ezek az egyenletek felteszik, hogy φ {\displaystyle \varphi } értéke és − π {\displaystyle -\pi } és π {\displaystyle \pi } közötti. Ha φ {\displaystyle \varphi } értéke 0 és 2 π {\displaystyle 2\pi } közötti, akkor az egyenleteket ennek megfelelően kell módosítani.
Az analízisben és alkalmazásaiban a szögkoordináták többnyire ívmértékben adják meg.
A gömbkoordinátákat gyakran használják forgásszimmetrikus rendszerek vizsgálatára. Példák: térfogatintegrálok gömbön, forgásszimmetrikus erőterek, mint például gömb alakú égitestek gravitációja, egy ponttöltés elektromos tere (lásd még: felszíni integrál). A képleteket egyszerűsíti, ha függetlenek egy vagy két gömbi koordinátától. Fontos parciális differenciálegyenletek, mint például a Laplace-egyenlet vagy a Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban a változók szétválasztásával könnyen megoldhatók.
A fenti konvenció nemzetközileg használatos az elméleti fizikában. Néha a θ {\displaystyle \theta } és φ {\displaystyle \varphi } jelöléseket fordítva használják, különösen az amerikai szakirodalomban.
A θ {\displaystyle \theta } nem ugyanaz, mint a földrajzi szélesség; inkább ko-szélességként definiálható. A földrajzi szélességet az egyenlítősík és az adott pont helyvektora által bezárt szög, értéke − 90 ∘ {\displaystyle -90^{\circ }} és 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} közötti. Ha ezt ϕ {\displaystyle \phi } jelöli, akkor ϕ = 90 ∘ − θ , θ = 90 ∘ − ϕ {\displaystyle \phi =90^{\circ }-\theta ,\theta =90^{\circ }-\phi } . Ezzel szemben φ {\displaystyle \varphi } minden további nélkül megfelel a λ {\displaystyle \lambda } földrajzi hosszúságnak.
A fenti konvenció inkonzisztens a síkbeli polárkoordináta-rendszer felépítésével. Egyes problémákhoz praktikusabb az
x = r cos ϕ cos φ {\displaystyle x=r\cos \phi \,\cos \varphi } y = r cos ϕ sin φ {\displaystyle y=r\cos \phi \,\sin \varphi } z = r sin ϕ {\displaystyle z=r\sin \phi \quad } ábrázolás. Ebben az ábrázolásban ϕ {\displaystyle \phi } a földrajzi szélesség.
Egy p → {\displaystyle {\vec {p}}} pont, illetve helyvektor visszatranszformációja:
ϕ = arcsin ( z / r ) {\displaystyle \phi =\arcsin(z/r)} φ = atg2 ( y , x ) {\displaystyle \varphi =\operatorname {atg2} (y,x)} , ahol r = | p → | {\displaystyle r=|{\vec {p}}|} .
Egy koordináta-transzformáció helyi tulajdonságait Jacobi-mátrixszal írják le. A gömbkoordináták transzformációját a fenti Descartes-féle koordináta-rendszerbe a következő mátrix írja le:
J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) = ( sin θ cos φ r cos θ cos φ − r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ − r sin θ 0 ) . {\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}.} A hozzá tartozó funkcionáldetermináns :
det J = r 2 sin θ {\displaystyle \det J=r^{2}\sin \theta } A transzformáció inverzét legegyszerűbben a J {\displaystyle J} mátrix invertálásával számolhatjuk ki:
J − 1 = ∂ ( r , θ , φ ) ∂ ( x , y , z ) = ( sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ 1 r cos θ cos φ 1 r cos θ sin φ − 1 r sin θ − 1 r sin φ sin θ 1 r cos φ sin θ 0 ) . {\displaystyle J^{-1}={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\{\frac {1}{r}}\cos \theta \cos \varphi &{\frac {1}{r}}\cos \theta \sin \varphi &-{\frac {1}{r}}\sin \theta \\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}&0\end{pmatrix}}.} A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha r = 0 {\displaystyle \textstyle r=0} vagy sin θ = 0 {\displaystyle \textstyle \sin \theta =0} , tehát θ = 0 {\displaystyle \textstyle \theta =0} vagy π {\displaystyle \textstyle \pi } . Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal:
J − 1 = ( x r y r z r x z r 2 x 2 + y 2 y z r 2 x 2 + y 2 − ( x 2 + y 2 ) r 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 ) . {\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.} Differenciál, térfogatelem, felszínelem, vonalelem[ szerkesztés ] A Jacobi-mátrix lehetővé teszi, hogy a differenciálok átszámítását átláthatóan átírjuk lineáris leképezéssé:
( d x d y d z ) = J ⋅ ( d r d θ d φ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}=J\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}} illetve
( d r d θ d φ ) = J − 1 ⋅ ( d x d y d z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}=J^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}} . A d V = d x d y d z {\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z} térfogatelem egyszerűen számítható a
det J = r 2 sin θ {\displaystyle \det J=r^{2}\sin \theta } funkcionáldeterminánssal, azaz:
d V = r 2 sin θ d φ d θ d r {\displaystyle \,\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r} . A d V d r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}} differenciállal kapjuk egy r {\displaystyle r} sugarú gömbön a d A {\displaystyle \mathrm {d} A} felszínelemet :
d A = r 2 sin θ d φ d θ {\displaystyle \mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta } . A d s {\displaystyle ds} vonalelem számítható, mint:
d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d φ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}} A d s {\displaystyle ds} vonalelem vegyes tagjainak hiánya visszatükrözi, hogy a metrikus tenzornak sincsenek koordinátái a főátlón kívül:
g = J T J = ( 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 θ ) {\displaystyle g=J^{T}J={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}} A metrikus tenzor nyilván a
h = diag ( 1 , r , r sin θ ) {\displaystyle h=\operatorname {diag} (1,r,r\sin \theta )} diagonális mátrix négyzete. Ennek segítségével a Jacobi-mátrix írható úgy, mint J = S h {\displaystyle J=Sh} , ahol S {\displaystyle S} az
S = ( sin θ cos φ cos θ cos φ − sin φ sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ cos θ − sin θ 0 ) {\displaystyle S={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{pmatrix}}} forgatómátrix .
Egy pont gömbi koordinátái a helyfüggő e r , e θ , e φ {\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }} ortogonális bázissal A következőkben vektorok és operátorok transzformációit mutatjuk be. Az eredmények leírásánál előnyben részesítjük a kompakt mátrixos formát. A legtöbb kijelentés és képlet a z {\displaystyle z} -tengelyen kívüli pontokra vonatkozik, ahol a Jacobi-determináns nem nulla.
A φ {\displaystyle \varphi } koordinátához tartozó e φ {\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }} bázisvektor adja meg egy P ( r , θ , φ ) {\displaystyle P(r,\theta ,\varphi )} pont mozgásirányát, ha a φ {\displaystyle \varphi } koordinátát a d φ {\displaystyle d\varphi } infinitezimális mennyiséggel elmozdítjuk:
e φ ∼ ∂ P ∂ φ {\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\sim {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \varphi }}} . Ebből
e φ ∼ ∂ P ∂ φ = ∂ x ∂ φ e x + ∂ y ∂ φ e y + ∂ z ∂ φ e z = − r sin θ sin φ e x + r sin θ cos φ e y {\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\sim {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \varphi }}={\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial z}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{z}=-r\sin \theta \sin \varphi \mathbf {e} _{x}+r\sin \theta \cos \varphi \mathbf {e} _{y}} . Ahhoz, hogy ortonormált bázist kapjunk, még le kell normálni az e φ {\displaystyle e_{\varphi }} vektort:
e φ = − sin φ e x + cos φ e y {\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }=-\sin \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \varphi \,\mathbf {e} _{y}} . Hasonlóan kapjuk az e r {\displaystyle e_{r}} és e θ {\displaystyle e_{\theta }} bázisvektorokra:
e r = sin θ cos φ e x + sin θ sin φ e y + cos θ e z {\displaystyle \mathbf {e} _{r}=\sin \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}+\cos \theta \,\mathbf {e} _{z}} e θ = cos θ cos φ e x + cos θ sin φ e y − sin θ e z {\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }=\cos \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}-\sin \theta \,\mathbf {e} _{z}} Oszlopvektorba írva:
e r = ( sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ ) , e θ = ( cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ ) , e φ = ( − sin φ cos φ 0 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}} Ezek a bázisvektorok az e r , e θ , e φ {\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }} sorrendben jobbfogású rendszert alkotnak.
A fent bevezetett S {\displaystyle S} forgatómátrixszal a transzformációk kompakt módon ábrázolhatók:
( e r , e θ , e φ ) = ( e x , e y , e z ) ⋅ S {\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi })=(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})\cdot S} . Mivel S {\displaystyle S} ortogonális, azért az inverz transzformáció mátrixa:
( e x , e y , e z ) = ( e r , e θ , e φ ) ⋅ S T {\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})=(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi })\cdot S^{T}} . Az egyes koordinátákhoz tartozó irányokat nevezik radiális, meridionális és azimutális irányoknak. Ezek a fogalmak nemcsak a csillagászatban és a földtudományokban, hanem a fizikában, a matematikában és mérnöki tudományokban is fontosak. Például a Hertz-dipólus esetén, ha az antenna kifeszítésének iránya a z {\displaystyle z} -tengely, akkor a sugárzás radiális irányú, míg az elektromos erőtér meridionális, a mágneses erőtér azimutális irányban rezeg.
Egy vektornak, mint geometriai entitásnak, függetlennek kell lennie a koordináta-rendszertől:
A x e x + A y e y + A z e z = A = A r e r + A θ e θ + A φ e φ . {\displaystyle A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}=\mathbf {A} =A_{r}\mathbf {e} _{r}+A_{\theta }\mathbf {e} _{\theta }+A_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.} Ez úgy teljesül, hogy:
( A x A y A z ) = S ⋅ ( A r A θ A φ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}}} illetve ( A r A θ A φ ) = S T ⋅ ( A x A y A z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}}=S^{T}\cdot {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}} . A parciális deriváltak szintén transzformálódnak, de normálás nélkül. A fentiekhez hasonlóan számolhatunk, de most kihagyjuk a P {\displaystyle P} pontot a számlálóból, és a J = S h {\displaystyle J=Sh} Jacobi-mátrixot alkalmazzuk az S {\displaystyle S} forgatómátrix helyett:
( ∂ ∂ r , ∂ ∂ θ , ∂ ∂ φ ) = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ J {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot J} , és az inverz transzformáció:
( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) = ( ∂ ∂ r , ∂ ∂ θ , ∂ ∂ φ ) ⋅ J − 1 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\cdot J^{-1}} . A ∇ {\displaystyle \nabla } nabla-operátor alakja egyszerű aDescartes-koordináta-rendszerben:
∇ = e x ∂ ∂ x + e y ∂ ∂ y + e z ∂ ∂ z {\displaystyle \mathbf {\nabla } =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z}}} . A fent levezetett módon transzformálva az egységvektorokat és a parciális deriváltakat:
∇ = e r ∂ ∂ r + e θ 1 r ∂ ∂ θ + e φ 1 r sin θ ∂ ∂ φ {\displaystyle \mathbf {\nabla } =\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\varphi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}} . Ebben a formában alkalmazható a transzformált nabla-operátor egy gömbkoordinátákkal adott skalármező gradiensének számítására.
Egy gömbi koordinátákkal adott A vektormező divergenciájának kiszámításához tekintetbe kell venni, hogy a ∇ {\displaystyle \nabla } nemcsak az A r , A θ , A φ {\displaystyle A_{r},A_{\theta },A_{\varphi }} együtthatókra, hanem az A -ban implicit jelenlevő e r , e θ , e φ {\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }} bázisvektorokra is:
∇ ⋅ A = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 A r ) + 1 r sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ A θ ) + 1 r sin θ ∂ ∂ φ A φ . {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}A_{\varphi }.} Ugyanerre a rotáció számításánál is ügyelni kell:
∇ × A = 1 r sin θ ( ∂ ∂ θ ( A φ sin θ ) − ∂ A θ ∂ φ ) e r + 1 r ( 1 sin θ ∂ A r ∂ φ − ∂ ∂ r ( r A φ ) ) e θ + 1 r ( ∂ ∂ r ( r A θ ) − ∂ A r ∂ θ ) e φ {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(A_{\varphi }\sin \theta )-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right)\mathbf {e} _{r}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rA_{\varphi })\right)\mathbf {e} _{\theta }+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rA_{\theta })-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right)\mathbf {e} _{\varphi }} Ha az A vektormező divergenciaoperátorát behelyettesítjük a ∇ {\displaystyle \nabla } gradiensoperátorba, akkor a Laplace-operátorhoz jutunk:
Δ = ∇ 2 = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 {\displaystyle \mathbf {\Delta } =\mathbf {\nabla } ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}} . illetve
Δ = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 + 1 r 2 cos θ sin θ ∂ ∂ θ + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 {\displaystyle \mathbf {\Delta } ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}} . A gömbi koordináták egy általánosítása n {\displaystyle n} dimenzióra:
x 1 = r cos ( ϕ 1 ) x 2 = r sin ( ϕ 1 ) cos ( ϕ 2 ) x 3 = r sin ( ϕ 1 ) sin ( ϕ 2 ) cos ( ϕ 3 ) ⋮ x n − 1 = r sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) cos ( ϕ n − 1 ) x n = r sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) sin ( ϕ n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\end{aligned}}} Belátható, hogy ez az n = 2 {\displaystyle n=2} esetben a polárkoordinátákat és n = 3 {\displaystyle n=3} esetén a gömbkoordinátákat adja.[ 6]
A szögek számítása:
tg ( ϕ n − 1 ) = x n x n − 1 tg ( ϕ n − 2 ) = x n 2 + x n − 1 2 x n − 2 ⋮ tg ( ϕ 1 ) = x n 2 + x n − 1 2 + ⋯ + x 2 2 x 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} (\phi _{n-1})&={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\\\operatorname {tg} (\phi _{n-2})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\operatorname {tg} (\phi _{1})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}\end{aligned}}} Átszámozással rekurziós képletet kapunk a szögekre:
x n = r cos ( ϕ n − 1 ) x n − 1 = r sin ( ϕ n − 1 ) cos ( ϕ n − 2 ) x n − 2 = r sin ( ϕ n − 1 ) sin ( ϕ n − 2 ) cos ( ϕ n − 3 ) ⋮ x 2 = r sin ( ϕ n − 1 ) ⋯ sin ( ϕ 2 ) cos ( ϕ 1 ) x 1 = r sin ( ϕ n − 1 ) ⋯ sin ( ϕ 2 ) sin ( ϕ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=r\cos(\phi _{n-1})\\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{n-1})\cos(\phi _{n-2})\\x_{n-2}&=r\sin(\phi _{n-1})\sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-3})\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{2}&=r\sin(\phi _{n-1})\cdots \sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=r\sin(\phi _{n-1})\cdots \sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\end{aligned}}} Ahonnan adódnak a következő szögek:
‖ L → k ‖ = sgn ( x k ) x k 2 + ‖ L → k − 1 ‖ 2 = x k ‖ x k ‖ x k 2 + ‖ L → k − 1 ‖ 2 {\displaystyle \left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert =\operatorname {sgn}(x_{k}){\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}={\frac {x_{k}}{\left\Vert x_{k}\right\Vert }}{\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}} ahol ‖ L → 0 ‖ = 0 {\displaystyle \left\Vert {\vec {L}}_{0}\right\Vert =0} és
tg ( ϕ k ) = x k 2 + ‖ L → k − 1 ‖ 2 x k + 1 = ‖ L → k ‖ x k + 1 {\displaystyle \operatorname {tg} (\phi _{k})={\frac {\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}{x_{k+1}}}={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}} A sugár:
r = ‖ L → n ‖ {\displaystyle r=\left\Vert {\vec {L}}_{n}\right\Vert } Az árkusz tangens miatt esetszétválasztás adódik a megfelelő Descartes-koordinátával bezárt szögre, ahol is a képleteket kiterjesztjük az arctan ( ± ∞ ) = ± π 2 {\displaystyle \arctan(\pm \,\infty )=\pm \,{\tfrac {\pi }{2}}} határértékekre is:
ϕ k = { arctg ( ‖ L → k ‖ x k + 1 ) + π , (1) ha: x k + 1 < 0 ∧ k = n − 1 arctg ( ‖ L → k ‖ x k + 1 ) , (2) ha: nem (1) ∧ nem (3) 0 , (3) ha: x k + 1 = ‖ L → k ‖ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{k}={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}\right)+\pi ,&{\text{(1) ha: }}x_{k+1}<0\;\land \;k=n-1\\\operatorname {arctg} \left({\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}\right),&{\text{(2) ha: }}{\text{nem (1)}}\land \;{\text{nem (3)}}\\0,&{\text{(3) ha: }}x_{k+1}=\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert =0\\\end{cases}}\end{aligned}}} Innen látszik, hogy L → k {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}_{k}\end{aligned}}} mindig kétdimenziós vektor, ha k > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}k>0\end{aligned}}} .
A gömbkoordináták Jacobi-mátrixa a fenti számozás szerint:
J = ( cos ( ϕ 1 ) − r sin ( ϕ 1 ) 0 0 ⋯ 0 sin ( ϕ 1 ) cos ( ϕ 2 ) r cos ( ϕ 1 ) cos ( ϕ 2 ) − r sin ( ϕ 1 ) sin ( ϕ 2 ) 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 0 sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) cos ( ϕ n − 1 ) r cos ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) cos ( ϕ n − 1 ) ⋯ ⋯ ⋯ − r sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) sin ( ϕ n − 1 ) sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) sin ( ϕ n − 1 ) r cos ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) sin ( ϕ n − 1 ) ⋯ ⋯ ⋯ r sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) cos ( ϕ n − 1 ) ) {\displaystyle J=\left({\begin{matrix}\cos(\phi _{1})&-r\sin(\phi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})&r\cos(\phi _{1})\cos(\phi _{2})&-r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})&r\cos(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})&\cdots &\cdots &\cdots &-r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\\\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})&r\cos(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})&\cdots &\cdots &\cdots &r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\end{matrix}}\right)} Determinánsa:
det J ( n ) = r n − 1 sin ( ϕ 1 ) n − 2 sin ( ϕ 2 ) n − 3 ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) = r n − 1 ⋅ ∏ k = 2 n − 1 ( sin ( ϕ n − k ) ) k − 1 n ≥ 2 {\displaystyle \det J_{(n)}=r^{n-1}\sin(\phi _{1})^{n-2}\sin(\phi _{2})^{n-3}\cdots \sin(\phi _{n-2})=\displaystyle r^{n-1}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\left(\sin(\phi _{n-k})\right)^{k-1}\quad n\geq 2} A determináns normája fölötti integrál kifejezhető a Γ {\displaystyle \Gamma } -függvény segítségével:
∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 π … ∫ 0 π | det J ( n ) | d ϕ 1 … d ϕ n − 2 d ϕ n − 1 d r = 2 π R n n ⋅ ∏ k = 2 n − 1 ∫ 0 π ( sin ( ϕ n − k ) ) k − 1 d ϕ n − k = 2 π R n n ⋅ ∏ k = 2 n − 1 π Γ ( k 2 ) Γ ( k + 1 2 ) = π n R n Γ ( n 2 + 1 ) n ≥ 2 {\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\dots \int _{0}^{\pi }|\det J_{(n)}|\,{\text{d}}\phi _{1}\dots {\text{d}}\phi _{n-2}{\text{d}}\phi _{n-1}{\text{d}}r={\frac {2\pi R^{n}}{n}}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\int _{0}^{\pi }(\sin(\phi _{n-k}))^{k-1}{\text{d}}\phi _{n-k}={\frac {2\pi R^{n}}{n}}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}{\frac {{\sqrt {\pi }}\;\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}}={\frac {{\sqrt {\pi }}^{n}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\quad n\geq 2} ami megfelel az n {\displaystyle n} -dimenziós hipergömb térfogatának:
V n ( R ) = π n R n Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {{\sqrt {\pi }}^{n}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}} 2D:
∫ 0 R ∫ 0 2 π r d ϕ 1 d r = π R 2 {\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }r\mathrm {d} \phi _{1}\mathrm {d} r=\pi R^{2}} 3D:
∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 π r 2 sin ( ϕ 2 ) d ϕ 2 d ϕ 1 d r = 4 π R 3 3 {\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin(\phi _{2}){\text{d}}\phi _{2}{\text{d}}\phi _{1}{\text{d}}r={\frac {4\pi R^{3}}{3}}} 4D:
∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 π r 3 sin 2 ( ϕ 1 ) sin ( ϕ 2 ) d ϕ 1 d ϕ 2 d ϕ 3 d r = π 2 R 4 2 {\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }r^{3}\sin ^{2}(\phi _{1})\sin(\phi _{2}){\text{d}}\phi _{1}{\text{d}}\phi _{2}{\text{d}}\phi _{3}{\text{d}}r={\frac {\pi ^{2}R^{4}}{2}}} Az n = 3 {\displaystyle n=3} esetben a x , y , z {\displaystyle x,y,z} tengelyekkel:
x 3 = z = r cos ( ϕ 2 ) x 2 = x = r sin ( ϕ 2 ) cos ( ϕ 1 ) x 1 = y = r sin ( ϕ 2 ) sin ( ϕ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=z=r\cos(\phi _{2})\\x_{2}&=x=r\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=y=r\sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\\\end{aligned}}} Ekkor a szögek:
tg ( ϕ 2 ) = ‖ L → 2 ‖ x 3 = x 2 2 + x 1 2 x 3 = x 2 + y 2 z tg ( ϕ 1 ) = ‖ L → 1 ‖ x 2 = x 1 2 x 2 = y x {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} (\phi _{2})={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{2}\right\Vert }{x_{3}}}&={\frac {\sqrt {x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}}{x_{3}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\\\operatorname {tg} (\phi _{1})={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{1}\right\Vert }{x_{2}}}&={\frac {\sqrt {x_{1}^{2}}}{x_{2}}}={\frac {y}{x}}\end{aligned}}} A gömbi koordináták transzformációjának Descartes-koordináta-rendszerbe:[ 6]
det ∂ ( x 1 , … , x n ) ∂ ( r , ϑ 1 , … , ϑ n − 2 , φ ) = r n − 1 sin ϑ 1 ( sin ϑ 2 ) 2 ⋯ ( sin ϑ n − 2 ) n − 2 {\displaystyle \det {\frac {\partial (x_{1},\dotsc ,x_{n})}{\partial (r,\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n-2},\varphi )}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}\left(\sin \vartheta _{2}\right)^{2}\dotsm \left(\sin \vartheta _{n-2}\right)^{n-2}} Ezzel az n {\displaystyle n} -dimenziós térfogatelem:
d V = r n − 1 sin ϑ 1 ( sin ϑ 2 ) 2 ⋯ ( sin ϑ n − 2 ) n − 2 d r d φ d ϑ 1 ⋯ d ϑ n − 2 = r n − 1 d r d φ ∏ j = 1 n − 2 ( sin ϑ j ) j d ϑ j . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {d} V&=&r^{n-1}\sin \vartheta _{1}\left(\sin \vartheta _{2}\right)^{2}\dotsm \left(\sin \vartheta _{n-2}\right)^{n-2}\mathrm {d} r\ \mathrm {d} \varphi \ \mathrm {d} \vartheta _{1}\dotsm \mathrm {d} \vartheta _{n-2}\\&=&r^{n-1}\ \mathrm {d} r\ \mathrm {d} \varphi \ \prod \limits _{j=1}^{n-2}(\sin \vartheta _{j})^{j}\ \mathrm {d} \vartheta _{j}\end{matrix}}.} ↑ Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169. ↑ F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1 , Seite 129. ↑ a b Lothar Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9 . ↑ a b Archiválva dátummal a(z) www-m8.ma.tum.de archívumban . (PDF; 59 kB). Skript an der TU München. ↑ Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart. ↑ a b Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. Birkhäuser 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6 , S. 205 (eingeschränkte Online-Kopie a Google Könyvekben -USA ). Ez a szócikk részben vagy egészben a Kugelkoordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.