Klotoid – Wikipédia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Klotoid_anim%C3%A1ci%C3%B3ja.gif/220px-Klotoid_anim%C3%A1ci%C3%B3ja.gif)
A klotoid (clothoid, clothoide) - más néven Cornù-féle spirál vagy Euler-féle spirál - olyan síkgörbe, aminek pontbeli görbülete egyenesen arányos az O kezdőponttól mért ívhosszal: .
A síkon egyenletes sebességgel haladó jármű akkor mozog klotoid pályán, ha a vezető a jármű volánját egyenletesen forgatja el. Ekkor a megtett úttal arányosan csökken a pálya simulókörének sugara, tehát az fordított arányosság is jellemzi a görbét.
Elnevezése
[szerkesztés]A görög mitológiából ismert három párka egyike Klothon (Κλωθών). Neve a klothein (κλωθείν) = gombolyítani jelentésű görög szóból eredeztethető. A párkák a mítosz szerint az élet fonalának gombolyítói, s a klotoid a gombolyagra emlékeztető alakjáról kapta a nevét. Az irodalomban használt más elnevezései a görbe analízisében jelentős eredményeket elérő két tudósra utalnak:
- Leonard Euler (1707-1783) svájci matematikus a harmonikus oszcillátor vizsgálatához,
- Marie Alfred Cornù (1841-1902) francia fizikus a fény diffrakciós vizsgálatának tanulmányozásához, a Fresnel-integrálok grafikus ábrázolása során konstruálta a görbét.
Leírása
[szerkesztés]A balra kanyarodó spirált a
- ,
a jobbra kanyarodót a
- ,
paraméteres egyenletek írják le,
ahol:
- a paraméter értelmezési tartománya: ,
- : a görbe méretét meghatározó hasonlósági együttható,
- a két Fresnel-integrál:
- ; .
A két ágból álló páros-spirálnak az irányítását a paraméter előjele definiálja. A koordináta-rendszer első negyedébe eső pontoknak az Origótól mért ívhossza pozitív, a harmadik negyedbe esőké negatív mértéket kap. Ugyancsak előjelezzük a pontokhoz tartozó görbületet és a görbületi sugarat: a növekvő mellett balra kanyarodó ív adott pontjában pozitív, a jobbra kanyarodónál negatív a görbület.
A kettős spirálnak az origóban inflexiós pontja van és érinti a megfelelő tengelyt. A határértékhez a görbe két aszimptotikus pontja tartozik.
Lokális adatok
[szerkesztés]- A k koefficienssel adott görbén az
- ívelem: ,
- ívhossz: ,
- görbület: ,
- görbületi sugár: ,
- érintő irányszöge: ,
- a görbület és az ívhossz aránya: .
Alkalmazása
[szerkesztés]- Az utak-vasutak egyenes és köríves szakaszának összekötésére használt átmeneti ívek egyike a megfelelően választott klotoid. Alkalmazásával az egyenes és az íves szakasz között a görbület - és ezzel a járműre ható centrifugális (tehetetlenségi) erő - egyenletesen változik.
- A hullámvasutak átfordulást biztosító hurokjánál két (rendszerint szimmetrikus) klotoid ívet használnak az előzőhöz hasonló okból.
Irodalom
[szerkesztés]- Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
- Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
- Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
- Pach Zs. Pálné-Frey Tamás: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,1964.