Kommutatív algebra – Wikipédia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Emmy_noether_postcard_1915.jpg/220px-Emmy_noether_postcard_1915.jpg)
A kommutatív algebra az algebra egy részterülete. Kommutatív gyűrűkkel és a felettük létező modulusokkal foglalkozik. Mind az algebrai számelmélet, mind az algebrai geometria alapvető módon épít a kommutatív algebra eredményeire. Utóbbiban a kommutatív algebra biztosítja az ún. sémák lokális vizsgálatának eszközeit.
Fontos és közismert példák kommutatív gyűrűre a következők: polinomgyűrűk, algebrai egészek gyűrűi a racionális számok testbővítéseiben – speciálisan ezek közé tartozik a racionális egész számok gyűrűje –, illetve a p-adikus egészek.[1]
Az algebrai számelméletben egy számtest (a racionális számok testének véges bővítése) algebrai egészeinek gyűrűje Dedekind-gyűrű. Ezek viselkedésének vizsgálata a kommutatív algebra fejlődésének egy fontos motiváló ereje. Emellett a kommutatív algebra számos fogalma megfeleltethető az algebrai geometriában megjelenő (gyakran általánosabb) fogalmaknak. Ez áll többek között a Krull-dimenzió, a primér felbontás, a reguláris gyűrű[2], a Cohen–Macaulay-gyűrű[3] illetve a Gorenstein-gyűrű[4] fogalmára.
A nem feltétlenül kommutatív gyűrűk vizsgálatával a nemkommutatív algebra foglalkozik. Ez magában foglalja a gyűrűelméletet, a reprezentációelméletet, és a Banach-algebrák elméletét.
Számelméleti vonatkozások
[szerkesztés]A kommutatív algebra által vizsgált objektumok először feltehetően a számelméletben jelentek meg.[5] Az alapvető felismerés abban állt, hogy ha -t egy polinom gyökeivel bővítjük, a kapott bővítés hasonlóságokat mutat -vel.
Ezeket a kutatásokat a nagy Fermat-sejtés is motiválta. A sejtés szerint az
egyenletnek nincs a racionális egész számok között -tól különböző megoldása, ha . Az állítás könnyen redukálható arra az esetre, ha prímszám. Egy lehetséges útnak tűnt a bizonyítás felé az egyenlet bal oldalának faktorizálása: ha helyett -ben dolgozunk, ahol primitív -edik egységgyök, akkor a bal oldal szorzattá bontható: . Így a bal és a jobb oldalon is egy tényezős szorzat szerepel. Ha most alkalmazhatnánk a számelmélet alaptételét -ben, akkor mindkét oldalt prímelemek szorzatára bonthatnánk, ami ellentmondáshoz vezethetne. A probléma viszont az, hogy a gyűrű általában nem UFD, azaz nem igaz benne a számelmélet alaptétele.[6]
Ez a megközelítés vezetett az ideál fogalmának Dedekind általi bevezetéséhez. A név ideális, azaz nem valódi elemekre utal.[7] Az ideálok a gyűrűelemek általánosításainak tekinthetők annyiban, hogy minden gyűrűelem generál egy főideált; az alaptétel szempontjából ez nem vezet gondokhoz, hiszen a prímfelbontás amúgy is mindig csak egységek erejéig egyértelmű. Dedekind sikeresen meghatározta azokat a gyűrűket, amikben az ideálok egyértelműen felírhatók prímideálok szorzataként: ezek a Dedekind-gyűrűk.
Az ideálok bevezetése önmagában nem volt elegendő a Fermat-tétel bizonyításához. Ugyanakkor ezeken keresztül Kummer sikeresen igazolta a tételt reguláris prímekre, azaz olyan -kre, amik nem osztják a test osztályszámát.[8] (37, 59 és 67 kivételével minden 100 alatti prím reguláris.)
A gyűrűbővítések egy másik útját Kronecker alapozta meg: bevezette a polinomgyűrű fogalmát, és egy test feletti polinom gyökeivel való bővítést alakban értelmezett. Kronecker továbbá definiálta a Dedekind-féle ideálok megfelelőit ebben a felállásban. Egyértelmű prímfelbontás ugyan nem létezik ebben az esetben, viszont egy gyengébb formája fennáll: ez a Lasker által bizonyított primér felbontás.[9]
A két fent vázolt elméletet Noether helyezte közös alapokra, úttörő munkát végezve a kommutatív algebra modern megalapozásában.[10]
Főbb eszközök és eredmények
[szerkesztés]Konvenció: a továbbiakban gyűrű alatt kommutatív egységelemes gyűrűt értünk.
Noether-gyűrűk
[szerkesztés]A Noether-gyűrűk mind a kommutatív, mind a nemkommutatív gyűrűelméletben alapvető fontosságúak. Egy Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben ideálok bármely nemüres halmazának van maximális eleme. Ezzel ekvivalens, hogy a gyűrű teljesíti a maximumfeltételt ideálokra. Ez alatt azt értjük, hogy ideálok bármely
lánca stabilizálódik, azaz létezik olyan n, hogy:
Egy kommutatív gyűrű továbbá akkor és csak akkor Noether, ha minden ideál végesen generált.[11]
Lokalizáció
[szerkesztés]A lokalizáció az integritási tartományokra értelmezett hányadostest-fogalom általánosításának tekinthető. Heurisztikusan a lokalizálás során megengedjük a gyűrű bizonyos elemeivel való osztást, ez ugyanakkor a hányadostest-konstrukcióval szemben nem az összes nemzéró elem, hanem ezeknek csak egy részhalmaza lesz.
A formális definícióhoz először bevezetjük a multiplikatívan zárt részhalmaz fogalmát: ez az gyűrű egy olyan részhalmaza, ami tartalmazza a gyűrű egységelemét, és ha , akkor .
Tekintsük a következő relációt az halmazon: akkor és csak akkor, ha létezik olyan , hogy . Könnyen ellenőrizhető, hogy ez ekvivalenciareláció. Az gyűrű -nél vett lokalizáltja ekkor az erre a relációra nézve vett ekvivalenciaosztályok halmaza; a továbbiakban az elem osztályát jelöli. A lokalizálton az összeadást és a szorzást a következőképpen definiáljuk:
- , .
A kapott gyűrűn a zéruselem így , az egységelem lesz.
Jegyezzük meg, hogy a „nevezők” halmazában megengedjük a zéróosztókat. Ha tartalmaz egy zéróosztót, akkor . Ha nullosztómentes, akkor akkor beágyazható a lokalizáltba az
leképezéssel.
Ha az összes nemnullosztójából áll, akkor a lokalizáltat az teljes hányadosgyűrűjének nevezzük.[12]
Fontos speciális eset, amikor egy prímideál komplementere. Ekkor a prímideál definíciója révén multiplikatív halmazt kapunk. Ilyenkor a lokalizált szokásos jelölése .
A lokalizáció fogalma kiterjed a gyűrű fölötti modulusokra is: ha egy -modulus, akkor analóg módon definiálható az -modulus.[13]
A lokalizáció néhány fontos tulajdonsága:
- A lokalizáció rendelkezik a következő univerzális tulajdonsággal: bármely -en értelmezett gyűrűhomomorfizmus, amely elemeit egységekbe viszi, keresztülfaktorizál az lokalizálton.[14]
- A lokalizáció egzakt funktor.[15]
- A lokalizáció tartja a faktorstruktúrát.[16]
- A lokalizált ideáljai az eredeti gyűrű ideáljainak lokalizáltjai.[17]
Az elnevezés az algebrai geometriával kapcsolatos; itt a lokális gyűrűk algebrai varietások egy adott pontnál vett, azaz helyi (lokális) vizsgálatakor kerülnek elő.
Hilbert bázistétele
[szerkesztés]Hilbert bázistétele szerint ha Noether-gyűrű, akkor az feletti egyváltozós polinomok gyűrűje is Noether-gyűrű. A tételből indukció útján következik, hogy ha Noether-gyűrű, akkor is az.
A tétel azon speciális esetét, amikor az alapgyűrű test, David Hilbert bizonyította először.[18] Az elnevezésben a bázis szó az ideálok végesen generáltságára utal, ami ekvivalens a Noether-tulajdonsággal.
A bázistétel következménye, hogy Noether-gyűrű felett végesen generált algebra maga is Noether-gyűrű.[19]
A tétel szerepe az algebrai geometriában a következő. Legyen egy test, legyen adott feletti -változós polinomok egy
halmaza, és tekintsük azon részhalmazát, amelyen valamennyi eltűnik, azaz
- .
Ekkor -nek van olyan véges részhalmaza, hogy
- ,
azaz előáll csupán véges sok polinom közös zérushelyeként is. Ez a klasszikus algebrai geometria szempontjából azt jelenti, hogy bármely feletti algebrai varietást leírható véges sok polinom közös zérushelyeként.
Zariski-topológia
[szerkesztés]Legyen egy gyűrű (a szakasz eleji konvenció továbbra is érvényben van). Ekkor az spektruma alatt a prímideálok halmazát értjük, és ezt -rel jelöljük. Ha egy részhalmaz (nem feltétlenül ideál), akkor legyen
- .
Tekintsük ezeket a halmazokat az összes részhalmazra, és definiáljuk a spektrumon a Zariski-topológiát mint azt a topológiát, amiben pontosan ezek a halmazok a zárt részhalmazok.[20] Ekkor egy kontravariáns funktor a gyűrűk kategóriájából a topologikus terek kategóriájába.[21] Az így definiált topologikus teret az algebrai geometriában affin sémának nevezik.
A klasszikus algebrai geometriában a Zariski-topológia fogalma egy másik értelemben is használatos. Legyen egy test, és legyen -változós polinomok egy halmaza (nem feltétlenül ideál a polinomgyűrűben). Ekkor a affin téren a Zariski-topológia zárt halmazai pontosan a
- ,
halmazok, azaz azon pontok halmazai, amik valamely részhalmazban elemeinek közös zérushelyeiként állnak elő.
A modern algebrai geometria számára az előbbi, a spektrumon alapuló megközelítés az alapvető; a gyűrűk spektrumaként előálló affin sémák a sémaelmélet alapkövei, az általános sémákat az affin sémák ún. összeragasztásával kapjuk. A fenti -dimenziós affin tér megfelelője ekkor a spektrum. A Hilbert-féle gyenge Nullstellensatz szerint a két fogalom egybeesik, ha algebrailag zárt test (azaz nincsen nemtriviális algebrai bővítése) és .
Az algebrai geometriai megközelítésben tehát a topológiai pontok szerepét a prímidálok veszik át, a fenti és operátorok közti kapcsolat alapján pedig gondolhatunk a gyűrű elemeire mint függvényekre.[22]
Nullstellensatz
[szerkesztés]Nullstellensatz név alatt több különböző, egymással összefüggő tételt lehet érteni, és a szakirodalomban a megnevezések nem teljesen egységesek. A következőkben az affin Nullstellensatz bizonyos variánsairól lesz szó; emellett az algebrai geometriában létezik még projektív illetve analitikus Nullstellensatz is. A Nullstellensatz szó németül zérushelytételt jelent.
Gyenge Nullstellensatz: Legyen algebrailag zárt test. Ekkor a gyűrű maximális ideáljai pontosan az alakú ideálok, ahol .[23]
Nullstellensatz vagy Zariski-lemma: Ha egy test, akkor bármely maximális ideáljának maradékteste véges bővítése -nak.[24]
Egy másik, szintén Nullstellensatznak nevezett tétel tartalmazásfordító bijektív (Galois-)kapcsolatot ír le az affin tér algebrai részhalmazai és a polinomgyűrű radikálideáljai között. Ennek leírásához először vezessük be az operátort: legyen gyűrű, egy részhalmaz. Ekkor
Intuitíve az halmaz az -en eltűnő függvények halmazának felel meg. Könnyen ellenőrizhető, hogy egy ideál, rendezésváltó, és , ahol az lezártját jelöli a Zariski-topológiában.[25]
Szükségünk lesz még a radikál fogalmára. Legyen egy ideál; ekkor radikálja azon gyűrűelemekből áll, amelynek valamely hatványa -ben van.
Nyilvánvaló, hogy . Egy ideált radikálideálnak nevezünk, ha .
Nullstellensatz: a és operátorok tartalmazásfordító bijekciót adnak meg a spektrum zárt részhalmazai és a gyűrű radikálideáljai között. Speciálisan , .[26]
Krull-dimenzió
[szerkesztés]A dimenzióelmélet a kommutatív algebra azon részterülete, ami gyűrűk (és modulusok) dimenziófogalmaival foglalkozik. Több különböző dimenziófogalom is létezik, és ezek általában nem esnek egybe.
A Krull-dimenziót a következőképpen definiáljuk. Legyen az gyűrű egy prímideálja. Ekkor a magassága a
láncok hosszának szuprémuma, ahol prímideálok. Az gyűrű Krull-dimenziója a prímideáljainak magasságainak szuprémuma:
- ,
ahol Spec(R) az R spektruma, azaz a prímideálok halmaza. Mivel minden maximális ideál prím, ez megegyezik a maximális ideálok magasságainak szuprémumával. A definíció egyenes következménye, hogy egy prímideál magassága egyenlő a nála vett lokalizáció dimenziójával:
- .[27]
Hasonló módon definiálható egy topologikus tér Krull-dimenziója is, ekkor prímideálok helyett irreducibilis zárt halmazok láncaival dolgozunk.[28] Ez adja a kapcsolatot az algebrai geometria dimenziófogalma felé: egy gyűrű spektrumán a Zariski-topológiára nézve vett topologikus Krull-dimenzió megegyezik a gyűrű fent definiált algebrai Krull-dimenziójával.
A Noether-gyűrűk viszonylag jól viselkednek a Krull-dimenzióra nézve: ennek alapját Krull főideáltétele és ennek következménye, Krull magasságtétele jelentik.
Krull főideáltétele a következőt állítja: legyen Noether-gyűrű, a gyűrű egy eleme, és legyen egy tartalmazásra nézve minimális prímideál. Ekkor . Más szavakkal, egy főideál feletti minimális prímideál legfeljebb egy magasságú.
Krull magasságtétele a főideáltétel induktív következménye, és egyben annak általánosítása nem főideálokra. Legyen Noether-gyűrű, legyenek , és legyen egy ezeket tartalmazó minimális prímideál. Ekkor a tétel szerint .
Mivel Noether-gyűrűben minden ideál végesen generált, a magasságtételből következik, hogy minden prímideál magassága véges. Az ugyanakkor lehetséges, hogy ezek a magasságok nem korlátosak, és így a gyűrű Krull-dimenziója végtelen; erre először Nagata adott példát.[29]
Primér felbontás
[szerkesztés]Noether-gyűrűkben minden ideál felírható bizonyos speciális ideálok – az ún. primér ideálok – metszeteként.
Legyen egy ideál. Ekkor az radikálja
- ,
azaz azon gyűrűelemek halmaza, amiknek valamely hatványa -ben van. Könnyen ellenőrizhető, hogy , és ideál -ben.
Egy ideált primér ideálnak nevezünk, ha teljesül a következő:
- ha és , akkor vagy .
Ez a prímideál definíciójának gyengítése, következésképpen minden prímideál primér. Ennek a részleges megfordítása is igaz: ha primér, akkor prímideál.[30] Noether-gyűrűben a metszetirreducibilis ideálok (azon ideálok, amik nem állnak elő két nagyobb ideál metszeteként), primér ideálok.[31] Ez azt sugallja, hogy a primér ideálok alkalmasak lehetnek arra, hogy a gyűrű ideáljainak metszetként való előállításának alkotóköveiként szolgáljanak.
Legyen egy ideál, és tegyük fel, hogy előáll véges sok primér ideál, mondjuk metszeteként:
- .
Egy ilyen felírást irredundáns felbontásnak nevezünk, ha a metszetből semelyik nem hagyható el, és , ha .
A Lasker–Noether-tétel szerint egy Noether-gyűrű bármely ideáljának van irredundáns felbontása primér ideálok metszeteként, továbbá értéke illetve a halmaz minden ilyen felbontásnál azonos.[32]
Az algebrai geometria szempontjából a tétel a következő módon írható le. Legyen a test feletti változós polinomok gyűrűje. Ekkor Noether-gyűrű Hilbert bázistétele értelmében. Legyen egy ideál, és tekintsük az -beli polinomok közös zérushelyeit -ben:
- .
A ilyen módon előálló részhalmazait affin algebrai halmazoknak nevezzük. Legyen egy irredundáns primér felbontás; ekkor felbomlik a affin algebrai halmazok uniójára:
- .
A halmazok irreducibilisek a Zariski-topológiában, azaz nem írhatók fel affin algebrai halmazok nemtriviális uniójaként.
Lásd még
[szerkesztés]Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Atiyah–Macdonald Chapter 1
- ↑ Stacks 02IS
- ↑ Stacks 02IO
- ↑ Stacks 0AWW
- ↑ Eisenbud §1.1, p.21
- ↑ Zábrádi §3.11
- ↑ Eisenbud §1.1, p.22
- ↑ Zábrádi §3.12.1
- ↑ Eisenbud §1.1, p.23
- ↑ Eisenbud p.23
- ↑ Goldhaber–Ehrlich §7.1
- ↑ Stacks 02C5 (3)
- ↑ Stacks 07JZ
- ↑ Stacks 00CP
- ↑ Stacks 00CS
- ↑ Stacks 02C8
- ↑ Stacks 02C9
- ↑ Hilbert
- ↑ Eisenbud Corollary 1.3
- ↑ Stacks 00E1
- ↑ Stacks 00E2
- ↑ Vakil §3.2
- ↑ Vakil 3.2.4
- ↑ Vakil 3.2.5
- ↑ Vakil §3.7
- ↑ Vakil 3.7.1
- ↑ Stacks 00KD
- ↑ Stacks 0054
- ↑ Eisenbud Exercise 9.6.
- ↑ Pelikán 10.1.3 Állítás
- ↑ Pelikán
- ↑ Pelikán 10.1.10 és 10.2.5 Tétel
Források
[szerkesztés]- ↑ Atiyah–Macdonald: Michael Atiyah – Ian G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Reading (Massachusetts): Addison-Wesley Publishing. 1969. ISBN 0-201-00361-9
- ↑ Eisenbud: David Eisenbud: Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry. New York: Springer-Verlag. = Graduate Texts in Mathematics, 150. ISBN 978-0-387-94268-1
- ↑ Goldhaber–Ehrlich: Jacob K. Goldhaber – Gertrude Ehrlich: Algebra. London: The Macmillan Company. 1971.
- ↑ Hilbert: Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen 36 (4): 473–534, ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01208503
- ↑ Pelikán: Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
- ↑ Stacks: A Stacks project szerzői: The Stacks project. stacks.math.columbia.edu (2021)
- ↑ Vakil: Ravi Vakil: The Rising Sea. (angolul) 2017.
- ↑ Zábrádi 2020: Zábrádi Gergely: Algebrai számelmélet jegyzet. (magyarul) 2020.
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Commutative algebra című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Primary decomposition című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.