Koszinusztétel – Wikipédia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Triangle_with_notations.png)
A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:
vagy másként:
Bizonyítások
[szerkesztés]Háromszögekre bontással
[szerkesztés]A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/45/Triangle_with_trigonometric_proof_of_the_law_of_cosines.png)
Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:
felhasználva a trigonometriai azonosságot. QED
- Megjegyzés
Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha . Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy helyett szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.
Vektorok segítségével
[szerkesztés]Az háromszög adott. -ből indítsuk a helyvektorokat. -ba mutató vektor legyen . -be mutató vektor legyen . Az és vektorok hajlásszöge legyen .
Ekkor ⇒ ⇔ . (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED
Koordinátarendszerben
[szerkesztés]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Triangle-law-of-cosines-proof_2.pdf/page1-320px-Triangle-law-of-cosines-proof_2.pdf.jpg)
Helyezzük el az -et derékszögű Koordináta-rendszerben úgy, hogy a csúcs az origóba essen, és a csúcs az x tengelyre kerüljön. A háromszögben legyen adott oldal és a szög, így a csúcs koordinátái . Ekkor az csúcs koordinátái .[* 1] Az oldal hosszúságára a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk:
- Megjegyzés
A bizonyítás során nem kellett figyelembe venni a két oldal által bezárt szög típusát, ezért bármilyen háromszögre általánosan igaz. Emellett minimalista abban a tekintetben, hogy a lehető legkevesebb előfeltétellel él (pont koordinátái, Pitagorasz tétele).
Alkalmazások
[szerkesztés]A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).
Megjegyzések
[szerkesztés]- ↑ Ezt akár a polárkoordinátákból, akár az A pont vetületeiből ki tudjuk deríteni.
Források
[szerkesztés]- Weisstein, Eric W.: Koszinusztétel (angol nyelven). Wolfram MathWorld