A szórás a valószínűségszámításban az eloszlásokat jellemző szóródási mérőszám. A szórás egy valószínűségi változó értékeinek a várható értéktől való eltérésének a mértéke.
Az X {\displaystyle X} valószínűségi változó szórását az
D ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) {\displaystyle \mathbf {D} (X)={\sqrt {\mathbf {E} \left((X-\mathbf {E} (X))^{2}\right)}}}
képlet adja meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E {\displaystyle \mathbf {E} } a várható értéket jelöli.
Az X {\displaystyle X} valószínűségi változó szórásának jelölésére a szakirodalomban a következő konvenciók léteznek:
D ( X ) , D X , D ( X ) , D X . {\displaystyle \mathbf {D} (X),\,\mathbf {D} X,\,D(X),\,\mathbf {D} X.}
A szórás négyzetét olyan gyakran használják a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában , hogy önálló fogalomként, mint szórásnégyzet vagy variancia is szoktak rá utalni.
Az X {\displaystyle X} valószínűségi változó szórásnégyzete az X {\displaystyle X} második centrális momentuma .
Az X {\displaystyle X} valószínűségi változónak pontosan akkor létezik szórása, ha X 2 {\displaystyle X^{2}} -nek létezik várható értéke, s ebben az esetben D ( X ) = D 2 ( X ) = V ( X ) = = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) = E ( X 2 − 2 X E ( X ) + E 2 ( X ) ) = = E ( X 2 ) − 2 E ( X ) E ( X ) + E 2 ( X ) = E ( X 2 ) − 2 E 2 ( X ) + E 2 ( X ) = = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (X)&={\sqrt {\mathbf {D} ^{2}(X)}}={\sqrt {\mathbf {V} (X)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} \left((X-\mathbf {E} (X))^{2}\right)}}={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2}-2X\mathbf {E} (X)+\mathbf {E} ^{2}(X))}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-2\mathbf {E} (X)\mathbf {E} (X)+\mathbf {E} ^{2}(X)}}={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-2\mathbf {E} ^{2}(X)+\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)}}\end{aligned}}} Tetszőleges a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbf {R} } esetén D ( a X ) = V ( a X ) = E ( ( a X ) 2 ) − E 2 ( a X ) = E ( a 2 X 2 ) − ( E ( a X ) ) 2 = = a 2 E ( X 2 ) − ( a E ( X ) ) 2 = a 2 E ( X 2 ) − a 2 E 2 ( X ) = = a 2 ( E ( X 2 ) − E 2 ( X ) ) = a 2 V ( X ) = = | a | D ( X ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (aX)&={\sqrt {\mathbf {V} (aX)}}={\sqrt {\mathbf {E} \left((aX)^{2}\right)-\mathbf {E} ^{2}(aX)}}={\sqrt {\mathbf {E} (a^{2}X^{2})-\left(\mathbf {E} (aX)\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {a^{2}\mathbf {E} (X^{2})-\left(a\mathbf {E} (X)\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}\mathbf {E} (X^{2})-a^{2}\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&={\sqrt {a^{2}\left(\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)\right)}}={\sqrt {a^{2}\mathbf {V} (X)}}=\\&=\vert a\vert \mathbf {D} (X),\end{aligned}}} D ( X + b ) = V ( X + b ) = E ( ( X + b ) 2 ) − ( E ( X + b ) ) 2 = = E ( X 2 + 2 b X + b 2 ) − ( E ( X ) + b ) 2 = ( E ( X 2 ) + 2 b E ( X ) + b 2 ) − ( E 2 ( X ) + 2 b E ( X ) + b 2 ) = = E ( X 2 ) + 2 b E ( X ) + b 2 − E 2 ( X ) − 2 b E ( X ) − b 2 = = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = = D ( X ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (X+b)&={\sqrt {\mathbf {V} (X+b)}}={\sqrt {\mathbf {E} \left((X+b)^{2}\right)-\left(\mathbf {E} (X+b)\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2}+2bX+b^{2})-\left(\mathbf {E} (X)+b\right)^{2}}}={\sqrt {\left(\mathbf {E} (X^{2})+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}\right)-\left(\mathbf {E} ^{2}(X)+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}\right)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}-\mathbf {E} ^{2}(X)-2b\mathbf {E} (X)-b^{2}}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&=\mathbf {D} (X).\end{aligned}}} Az X {\displaystyle X} valószínűségi változó szórása pontosan akkor 0, ha X {\displaystyle X} konstans, azaz D ( X ) = 0 ⇔ X = c {\displaystyle \mathbf {D} (X)=0\Leftrightarrow X=c} .
Ha X {\displaystyle X} és Y {\displaystyle Y} véges szórású korrelálatlan valószínűségi változók, azaz corr ( X , Y ) = 0 {\displaystyle \operatorname {corr} (X,Y)=0} , akkor D ( X + Y ) = D 2 ( X ) + D 2 ( Y ) . {\displaystyle \mathbf {D} (X+Y)={\sqrt {\mathbf {D} ^{2}(X)+\mathbf {D} ^{2}(Y)}}.} Azt látjuk tehát, hogy (korrelálatlan, véges szórású valószínűségi változók esetén) nem a szórás, hanem a szórásnégyzet viselkedik lineárisan.
Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András, Rényi Alfréd , Szász Domokos (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény Typotex Kiadó , Budapest. Baran Sándor, Fazekas István, Glevitzky Béla, Iglói Endre, Ispány Márton, Kalmár István, Nagy Márta, Tar László, Verdes Emese (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. Medgyessy Pál – Takács Lajos (1973): Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, Budapest. Michelberger Pál, Szeidl László, Várlaki Péter (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis Typotex Kiadó, Budapest.