Tükrözés (matematika) – Wikipédia
Az egybevágósági transzformációk közül többet is tükrözésnek neveznek. Legismertebb a síkbeli tengelyes tükrözés és pontra tükrözés. Néha a térbeli síkra tükrözés is szóba kerül. Az inverziót körre tükrözésnek is szokás nevezni.
Középpontos tükrözés
[szerkesztés]Az egyenesen értelmezett középpontos tükrözés az egyenes egy P pontját abba a P1 pontba viszi, ami ugyanolyan távol van a középponttól, mint P, hogy a középpont a PP1 szakasz felezőpontja legyen.
Legtöbbször ennek síkbeli kiterjesztéséről beszélnek. Ekkor a sík egy P pontjának P1 képe az a pont, ami a P pontot a középponttal összekötő egyenesen fekszik, hogy a középpont a PP1 szakasz felezőpontja.
Tulajdonságok
[szerkesztés]A középpontos tükrözésnek a következő tulajdonságai vannak a síkban:
- olyan forgatás, aminek szöge 180 fok
- irányítástartó
- megadható középpontjával, vagy egy pont-pont képe párral
- van egy fixpontja: a középpontja
- invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek
- felírható két tengelyes tükrözés szorzataként, melyek tengelyei merőlegesek egymásra, és a középpontban metszik egymást
- a transzformációszorzásban eltolással szorozva középpontos tükrözést ad
- két középpontos tükrözés szorzata eltolás
Tengelyes tükrözés
[szerkesztés]Tengelyes tükrözés az a transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P1 pont, ami a P pontból a tükrözés tengelyére bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.
Síkban a tengely a PP1 szakasz felezőmerőlegese. Térben a szakasz felezőmerőleges síkjában helyezkedik el.
Tulajdonságok
[szerkesztés]A síkban:
- irányításváltó
- megadható tengelyével vagy pont - pont képe párral
- fixegyenese a tengelye
- invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek
- egy tengelyes tükrözés a tengelyes tükrözések közül csak önmagával vagy rá merőleges tengelyű tükrözéssel cserélhető fel
- önmagával vett szorzata identitás
- három, egy ponton átmenő tengelyű, vagy párhuzamos tengelyű tükrözés szorzata tengelyes tükrözés
- ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető egymással
- három, páronként egymást metsző tengelyű tükrözés szorzata csúsztatva tükrözés
- két tengelyes tükrözés szorzata
- forgatás, ha a tengelyek metszik egymást
- eltolás, ha párhuzamosak
- páros számú tengelyes tükrözés szorzata nem írható fel páratlan számú tengelyes tükrözés szorzataként
- a sík összes transzformációja előáll legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzataként
A térben:
- irányítástartó
- 180 fokos forgatás a tengely körül
- megkapható két merőleges síkra tükrözéssel
- önmagával vett szorzata identitás
- megadható tengelyével
- fixegyenese a tengelye
- invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek
- egy egyenes képe abban a pontban metszi a tengelyt, amiben az egyenes is metszi
- a tengellyel párhuzamos egyenesek képei is párhuzamosak a tengellyel, és tengelytől vett távolságuk megegyezik az eredeti egyenesek tengelytől mért távolságával
- három párhuzamos tengelyre vett tükrözés szorzata tengelyes tükrözés
Tengelyes szimmetria
[szerkesztés]Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a síkban, ha van tengely, amire tükrözve önmagába megy át. Ilyen például az egyenlő szárú háromszög, a húrtrapéz, a deltoid, a rombusz, a téglalap, a kör.
Síkra tükrözés
[szerkesztés]Síkra tükrözés az a (téren értelmezett) transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P1 pont, ami a P pontból a tükrözés síkjára bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.
Ekkor a tükrözés síkja a PP1 szakasz felező merőleges síkja.
Tulajdonságok
[szerkesztés]- Irányításváltó
- Egyértelműen megadható a tükrözés síkjával, vagy egy pont-pont képe párral
- A tükrözés síkja fix
- A tükrözés síkjára merőleges egyenesek, síkok invariánsak
- A tükrözés síkjával párhuzamos egyenes, sík képe párhuzamos az eredeti egyenessel, síkkal
- A tükrözés síkját metsző egyenes, sík képe ugyanabban a pontban metszi a síkot, mint az eredeti egyenes, sík
- Ekkor a tükrözés síkja az eredeti és a képsíkok szögfelező síkja
- Önmagával vett szorzata az identitás
- Három közös egyenesen átmenő, vagy párhuzamos síkra vett tükrözés szorzata síkra vett tükrözés, és ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető
- A tér bármely egybevágósága előáll legfeljebb négy síkra tükrözés szorzataként
- Páros számú síkra tükrözés szorzata nem fejezhető ki páratlan számú síkra tükrözés szorzataként
- Két síkra tükrözés csak akkor cserélhető fel, ha síkjaik merőlegesek egymásra, vagy megegyeznek
Algebra
[szerkesztés]Síkban a tengelyes tükrözések, térben a síkra tükrözések generálják a hasonlósági transzformációk csoportját.
Lineáris algebra
[szerkesztés]A síkban (az origón átmenő) egyenesre, a térben (origón átmenő) síkra tükrözés mátrixa −1 determinánsú ortogonális mátrix.
A síkban az origón átmenő, az x tengely pozitív felével szöget bezáró egyenesre tükrözés mátrixa:
A koordinátasíkokra, koordinátatengelyekre, origóra tükrözés mátrixai a térben:
az YZ koordinátasíkra:
az X tengelyre:
az origóra:
Általánosítások
[szerkesztés]Csúsztatva tükrözés: felírható egy tükrözés és egy eltolás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan eltolás és tükrözés, hogy az eltolás iránya párhuzamos legyen a tükrözés tengelyével vagy síkjával. Felírható három tengelyes vagy síkra tükrözés szorzataként. Mátrixa ‒1 determinánsú ortogonális mátrix. A sík minden irányításváltó egybevágósági transzformációja csúsztatva tükrözés.
A tükrözés speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban az eltolás az identitás.
Forgatva tükrözés: felírható egy síkra tükrözés és egy tengelyes forgatás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan forgatás és tükrözés, hogy a forgatás tengelye merőleges legyen a tükrözés síkjára.
A síkra tükrözés speciális forgatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban a forgatás az identitás.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]Források
[szerkesztés]- https://web.archive.org/web/20080215214054/http://lexikon.fazekas.hu/123
- https://web.archive.org/web/20081109194722/http://bel.freeweb.hu/e3/matek2.html (Megszűnt a lap. Te is segíthetsz megfelelő hivatkozást találni!)
- https://web.archive.org/web/20160308051506/http://kemeny-eger.sulinet.hu/public/doks/matematika/tetel15.pdf
- https://web.archive.org/web/20080603080105/http://www.pharmachip.hu/zyx/old/hiperter/4dgeo.htm kiterjesztések
- https://web.archive.org/web/20081021092706/http://web.axelero.hu/ebalog/matektetel.htm
- https://web.archive.org/web/20081104062923/http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/siktraf/siktraf.htm
- https://web.archive.org/web/20081210183650/http://www.math-inst.hu/~carlos/geo2ttem.html
- https://web.archive.org/web/20081225001602/http://xml.inf.elte.hu/~mathdid/szakdolg/viki/lexikon/stu/stu.html
- https://web.archive.org/web/20160305044726/http://www.hefop.u-szeged.hu/hefop_kk/documents/Tananyag/SZTE/Euklideszi_geometria.pdf harmadik dimenzió
- https://web.archive.org/web/20110926082024/http://www.geo.u-szeged.hu/~bodis/maths/szakdolgozat/
- http://adameva.web.elte.hu/6AlkModsz/TetelekSztolar/IA_10.doc