Térgörbe – Wikipédia

A térgörbe olyan görbe, melynek pontjai a háromdimenziós térben helyezkednek el. Matematikailag leírható az

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \,}$

alakú vektor-skalár függvénnyel, ahol ${\displaystyle \mathbf {i} \,}$, ${\displaystyle \mathbf {j} \,}$, és ${\displaystyle \mathbf {k} \,}$ az x,y és z irányú egységvektor. Leírható még az

${\displaystyle x=x(t),~~y=y(t),~~z=z(t)\,}$

paraméteres egyenletrendszerrel vagy két felület metszésvonalaként, azaz egy

${\displaystyle F(x,y,z)=0,~~G(x,y,z)=0\,}$

egyenletrendszerrel.

A vektor-skalár függvény első deriváltja:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} (t)={\dot {x}}(t)\mathbf {i} +{\dot {y}}(t)\mathbf {j} +{\dot {z}}(t)\mathbf {k} \,}$

A t paraméter felfogható úgy is, hogy az a görbén valamilyen menetrend szerint végigfutó pont mozgása közben mérhető időt jelenti. Ha ráadásul olyan a „menetrend” hogy a sebesség abszolút értéke állandó és egységnyi, akkor a t paraméter jelentése a görbe menti ívhossz (út). Ekkor az

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} (t)=\mathbf {v} (t)\,}$ a sebességvektor, az

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} (t)=\mathbf {a} (t)\,}$ pedig a gyorsulásvektor.

Az érintő irányú egységvektor a fentiek alapján:

${\displaystyle \mathbf {t} ={\frac {\mathbf {\dot {r}} (t)}{\mid \mathbf {\dot {r}} (t)\mid }}\,}$

A görbeszakasz ívhossza a ${\displaystyle t\,}$ idő alatt befutott távolság:

${\displaystyle s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mid \mathbf {\dot {r}} (t)\mid dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(t)+{\dot {y}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)}}dt\,}$

A ${\displaystyle {\ddot {r}}(t)\,}$ gyorsulásvektor általában általános helyzetű vektor, mely felbontható érintő irányú (pályamenti gyorsulás) és arra merőleges (centripetális gyorsulás) komponensre. Ha a sebesség (azaz a helyvektor idő szerinti első deriváltja) állandó, pályamenti gyorsulás nincs, ekkor a gyorsulás merőleges az érintőre. Ha a ${\displaystyle t\,}$ paraméter megegyezik az ${\displaystyle s\,}$ ívhosszal, akkor a deriválást pont helyett vesszővel jelöljük a továbbiakban. Ebben az esetben írható, hogy

${\displaystyle (\mathbf {r'(s)} )^{2}=1\,}$

és ha ennek az egyenletnek mindkét oldalát deriváljuk, akkor a

${\displaystyle 2\mathbf {r'(s)} \mathbf {r''(s)} =0\,}$

Látható, hogy a két vektor skaláris szorzata nulla, ez csak akkor lehetséges, ha merőlegesek egymásra. Az ${\displaystyle r'\,}$ és ${\displaystyle r''\,}$ által meghatározott síkot simulósíknak hívják.

A ${\displaystyle \mathbf {b} \,}$ binormális a simulósíkra az érintési pontban állított egységnyi hosszúságú merőleges vektor:

${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}}{\mid {\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}\mid }}={\frac {\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}{\mid \mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''\mid }}\,}$

A gyorsulás irányú egységvektor az ${\displaystyle \mathbf {n} \,}$ főnormális vektor, ez merőleges az érintő és binormális által meghatározott, úgynevezett rektifikáló síkra:

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {b} \times \mathbf {t} ={\frac {\mathbf {r} ''}{\mid \mathbf {r} ''\mid }}\,}$

A ${\displaystyle \mathbf {t} \,}$, ${\displaystyle \mathbf {n} \,}$ és ${\displaystyle \mathbf {b} \,}$ egységvektorok egymásra merőlegesek, szokásos elnevezésük: kísérő triéder vagy kísérő háromél.

A főnormális és binormális vektornak csak akkor van értelme, ha ${\displaystyle \mathbf {r} ''\neq 0\,}$, vagyis, ha a görbe nem egyenes.

A görbület az érintő irányváltozásának sebessége. Kiszámítása:

${\displaystyle g=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}}=\mid \mathbf {r} ''(s)\mid ={\frac {\mid {\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}\mid }{\mid {\dot {\mathbf {r} }}\mid ^{3}}}\,}$.

A görbületi sugár a görbület reciproka:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{g}}\,}$.

A simulókör a simulósíkban helyezkedik el, amint az ábra mutatja.

A torzió vagy csavarodás a simulósík elfordulásának sebessége. Kiszámítása:

${\displaystyle c=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \beta }{\Delta s}}=-\mathbf {n} \mathbf {b} '(s)={\frac {\mathbf {r} '\mathbf {r} ''\mathbf {r} '''}{\mid \mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''\mid ^{2}}}}$.

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

• Dr. Gáspár Csaba:Térgörbék Archiválva 2010. május 9-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Liegner Nándor: Vasúti görbület-átmeneti geometriák és alkalmazásuk