In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.[1]
Sia
un gruppo. Due elementi
e
di
sono detti coniugati se esiste un terzo elemento
in
tale che
. Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di
in insiemi disgiunti ognuno detto classe di equivalenza rispetto un elemento
fissato:
![{\displaystyle \operatorname {Co_{G}} (\cdot x)={Co}(\cdot x)=G\circ x=\{x^{*}\in G|x^{*}=gxg^{-1},g\in G\}\subseteq G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165b7cf6e219e2e752a5dd11ec86fc1b2e6afbb0)
![{\displaystyle \operatorname {Co_{G}} (x\cdot )={Co}(x\cdot )=x^{*}\circ G=\{x\in G|g^{-1}x^{*}g=x,g\in G\}\subseteq G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824d34bb690923738e1eacd28f4d5ce44b4d5c51)
per azione sinistra o destra e in genere vengono dette orbite di
, e nel caso dell'azione di
su
viene detta classe di coniugio di
. Da notare che questi due tipi di classi coincidono e sono dei sottoinsiemi non dei sottogruppi di
. Se con
[2] indichiamo il numero di orbite o classi di coniugio distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:
![{\displaystyle G_{\mbox{csr}}=\{x_{1},\ x_{2}\ldots ,x_{n_{O}}\}\subseteq X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8e10e89ff8f4ad64b03976236efc62095c7f19)
dove per l'azione di coniugio si ha
e csr le iniziali di complete system of rapresentatives. Il numero delle orbite o classi di coniugio si può ricavare con più metodi:
Descriviamo ogni classe di coniugio come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza
definita in
ponendo per
:
![{\displaystyle a\sim _{G\cdot }b\Longleftrightarrow gag^{-1}=b\Longleftrightarrow b\in \operatorname {Co} (a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a156688e26a14d7b4c906c3761a984e2e4b041e4)
La classe d'equivalenza contenente l'elemento
è proprio
: infatti
, dove
è l'elemento neutro di
, quindi
perché
è un sottogruppo.
Anche ogni classe coniugio sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:
![{\displaystyle a\sim _{\cdot G}b\Longleftrightarrow g^{-1}bg=a\Longleftrightarrow a\in \operatorname {Co} (b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607d765eafe58dea2f6469947338942be33c608d)
L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi coniugio distinte o disgiunte in cui è partizionato
si definisce come:
![{\displaystyle G/\sim _{\cdot G}=G/\sim _{G\cdot }:=\{\operatorname {Co} (x)\,|\,x\in G\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b1fef45d9846819b79ba0f976b6277997b1889)
dove l'elemento
è il rappresentante della classe di coniugio. Cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale.
- L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, cioè:
. Infatti si ha:
![{\displaystyle geg^{-1}=gg^{-1}=e,\quad \forall g\in G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6780592459cefd76a4e675af3ec7ffa7948a848)
- Se
è abeliano,
per ogni
in
. In questo caso si ha che il centro
coincide con
. - Se due elementi
e
appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine. In particolare per il gruppo simmetrico devono avere tutti la stessa struttura ciclica o il tipo, cioè:
![{\displaystyle \operatorname {Co} (x)=\{x\in S_{n}:x=[{l_{1}}^{k_{1}}\ \ldots \ {l_{r}}^{k_{r}}]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec94cb644ae9511dba7a1760155d3dde467f382)
- quindi un
ha
numeri interi che rappresentano le lunghezze dei cicli nella struttura ciclica di
(cioè 1-ciclo, 2-ciclo, ...), mentre
indica il numero di cicli aventi stessa lunghezza
con l'indice
, e rappresentando un singolo ciclo con la notazione
abbiamo: ![{\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{r}\left({\alpha _{1}}^{l_{i}}\cdots {\alpha _{k_{i}}}^{l_{i}}\right)\ =\ \sum _{i=1}^{r}\left(\sum _{j=1}^{k_{i}}\alpha _{j}^{l_{i}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eab3467fc82f3f70af571a6857f3de077067b03)
- essendo
. Allora il numero dei coniugati o dello stesso tipo di
è:[3] ![{\displaystyle |\operatorname {Co} (x)|={\frac {n!}{\left(k_{1}!\ l_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!\ l_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{r}!\ l_{r}^{k_{r}}\right)}}={\frac {n!}{\left(l_{1}^{k_{1}}\ l_{2}^{k_{2}}\cdots \ l_{r}^{k_{r}}\right)\left(k_{1}!\ k_{2}!\ \cdots k_{r}!\ \right)}}={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}\ l_{i}^{k_{i}}\ k_{i}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6292a5cc7d062dd4d65885133ac60840f1dd3200)
- Un elemento di
appartiene al centro
di
se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso. In simboli:
![{\displaystyle x\in \operatorname {Z} (G)\iff \operatorname {Co} (x)=\{x\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600b5c674e8f9598c8570cc05ac87d7821bc2f12)
- Se due elementi
e
sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine
, cioè
e
.
Si può definire l'azione di coniugio sinistra come l'azione di
in sé stesso:
![{\displaystyle g\cdot x=gxg^{-1}=y;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573cf1acb546b49d825e98bed0a234e347d122e3)
oppure l'azione di coniugio destra
![{\displaystyle y\cdot g=g^{-1}yg=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b439a2fa3f0f23aa94cd675b2ada37d2383c8ab7)
per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio. Le orbite dell'azione di coniugio vengono dette le classi di coniugio di
che denotiamo
già definita, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento in questo caso viene detto il suo centralizzatore (o centralizzante) che denotiamo
e, per l'uso successivo, ne riportiamo la definizione:
![{\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x)=\{g\in G|\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G|\ gx=xg\}\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd40fe45209d2e03baf97e3c5b6ed0ec29685f0e)
ed è un sottogruppo di
per cui ha senso considerare le classi laterali destre e sinistre, ed anche il numero di tali classi o l'indice
.
Allo stesso modo si può definire l'azione di coniugio sinistra di
sulla famiglia
dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di
con
che comprende i sottogruppi propri e quelli banali o impropri cioè
e
stesso:
![{\displaystyle g\cdot H=gHg^{-1}=K;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3bab92702e2507b60ba71268298a539ab21a0b)
oppure l'azione di coniugio destra
![{\displaystyle K\cdot g=g^{-1}Kg=H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a7749894502da7da14fbd6f49288c896dfbf64)
per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio.
- Sottogruppo coniugato
Possiamo definire il sottogruppo coniugato come:
![{\displaystyle H^{g}=gHg^{-1}=\{ghg^{-1}\ :\ h\in H\}\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437f96bbe1f0ad1401d6685581b7dae4a1fde41a)
che si dimostra essere ancora un sottogruppo di
L'insieme di tutti i coniugati di
si denota:
![{\displaystyle \operatorname {Co} (H)=G\circ H=\{gHg^{-1}\ :\ g\in G\}=\{H^{g}|g\in G\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee71fc10189ddea5241e19d36233ac257151fcca)
e, mentre le classi di coniugio sono formate da elementi dello stesso ordine, qui le classi sono formate da sottogruppi con stesso indice
. Infine lo stabilizzatore di tale
viene detto normalizzatore e, per completezza, ne riportiamo la definizione:
![{\displaystyle N_{G}(H)=\{\ g\in G|gHg^{-1}=H\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a707c3265c5588f7f34f7068859fc51fb04af0)
Se
è un gruppo finito, allora per ogni elemento
del gruppo, ha senso costruire due insiemi per l'azione di coniugio a sinistra:
![{\displaystyle \operatorname {Co} (x)=\{gxg^{-1},g\in G\}\subseteq G,\quad \operatorname {C} _{G}(x)=\{g\in G|\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G|\ gx=xg\}\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715bc85bf9997bb4db311492edacf7dc73ea63aa)
e consideriamo le relative classi laterali sinistre:
![{\displaystyle g\operatorname {C} _{G}(x)=\{gh,h\in \operatorname {C} _{G}(x)=H\}\subseteq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffed593949302d8e88f50529963eecabac99241)
facciamo vedere come gli elementi nella classe di coniugazione di
sono in corrispondenza biunivoca con le classi laterali del centralizzatore
Infatti due elementi
della stessa classe laterale danno origine allo stesso elemento coniugato
. In particolare con
si ha:
![{\displaystyle g_{1}=xh_{1},\quad g_{2}=xh_{2}\implies g_{2}{h_{2}}^{-1}=x\implies g_{1}=g_{2}{h_{2}}^{-1}h_{1}=g_{2}h^{'},\quad h_{1},h_{2}\in H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83baa554d1efcdb8b0aaa35d2ad954009835201d)
Essendo facile far vedere che
si ha:
![{\displaystyle g_{1}xg_{1}^{-1}=g_{2}h^{'}\ x\ (g_{2}h^{'})^{-1}=g_{2}h^{'}\ x\ {h^{'}}^{-1}g_{2}^{-1}=g_{2}\ x\ h^{'}{h^{'}}^{-1}g_{2}^{-1}=g_{2}xg_{2}^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09b35e6e5f07a9e2e3deba54ed058577d206d65)
cioè due elementi della stessa classe laterale corrispondono allo stesso elemento coniugato. In altro modo due elementi coniugati della stessa classe
hanno i rispettivi centralizzanti
che sono coniugati. Vale anche il viceversa: se consideriamo due elementi della stessa classe di coniugio
allora per le rispettive classi laterali sinistre rispetto al centralizzatore
si ha
. Questo è un caso particolare del teorema orbita-stabilizzatore[4], quando si considera il gruppo come agente su se stesso attraverso l'azione per coniugio (
è un
-insieme), dove le orbite sono le classi di coniugazione e i sottogruppi stabilizzatori sono i centralizzatori. In altri termini esiste una relazione che lega il centralizzante di un elemento con la classe di coniugio dello stesso:
[5]
con
l'indice in
del centralizzante di
tramite
. Ossia il numero di elementi nella classe di coniugio di
è l'indice
del centralizzatore
in
; quindi la dimensione di ogni classe di coniugio divide l'ordine del gruppo (
).
Inoltre, nell'ipotesi di un centro banale, se scegliamo un singolo elemento rappresentativo
da ogni classe di coniugio, essendo
partizionato in
classi disgiunte dalla relazione di coniugio, si ottiene
![{\displaystyle G=\bigcup _{i=1}^{n_{O}}\ \operatorname {Co} (x_{i}),\qquad \operatorname {Co} (x_{i})\cap \operatorname {Co} (x_{j})=\varnothing ,\quad i,j=1,\ldots ,n_{O}\ i\neq j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1904ff5c1f9f5d142be013a73b8443c757f8f751)
e quindi prendendo l'ordine del primo membro e del secondo, si ottiene l'equazione delle classi:
![{\displaystyle |G|=\sum _{i=1}^{n_{O}}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right]=1+\sum _{i=2}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{i})|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d398ce8e6bfe6268a40dd296e019182997025514)
dove
è il centralizzatore di
Nell'ipotesi di centro non banale, osserviamo che ogni elemento
che sta al centro
(un sottogruppo normale) forma una classe di coniugio
, che contiene il solo elemento
si ottiene la forma generale dell'equazione delle classi:[6][postille 1]
![{\displaystyle |G|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|{\operatorname {Co} (y_{i})}|+\sum _{j=1}^{n_{O}}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{j})\right]=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j=1}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{j})|}}=n_{Oz}+\sum _{j=1}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{j})|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f219cbc90893f81ea5c0ea84701f9ae1b033fb4)
dove la somma dell'indice
è su un elemento rappresentativo di ciascuna classe di coniugio che non è il centro.
La conoscenza dei divisori dell'ordine di gruppo
viene spesso utilizzata per ottenere informazioni sull'ordine del centro (
) o delle classi di coniugio (
).
Consideriamo il gruppo simmetrico
non abeliano. In notazione ciclica il gruppo ha i seguenti elementi:
![{\displaystyle S_{3}=\{(1)(2)(3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2)(3),(1\ 3)(2),(2\ 3)(1)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067bddb410e26cc37ec4acd9e199baeb910adf2d)
che sappiamo avere centro banale
e quindi il centro
forma una sola classe di coniugio
e il corrispondente centralizzante
per cui
![{\displaystyle |{\operatorname {Z} (S_{3})}|={\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}(\mathrm {id} )|}}={\frac {6}{6}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef138ead899d1c7238c734b1f9e6515099aed41d)
Fatta questa premessa determiniamo il numero delle classi di coniugio
e i centralizzatori
, dove
è il rappresentante della
-esima classe di coniugio. Innanzitutto osserviamo che
è uguale al numero di partizioni di
ossia alla decomposizione di
nella somma d'interi positivi. Essendo
, occorre trovare gli
e cioè i seguenti casi:
![{\displaystyle 1+1+1=3;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341ef03b7e0d20a54d41f409ddcbc0ce4a88b3c2)
![{\displaystyle 1+2=3;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3c01803a603a0faf2430011d1c9c41ee839d3d)
![{\displaystyle 3=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c58a947f94b497641061fbc613cc1e3eec1caf)
Quindi le classi sono 3, cioè
ed equivale ai 3 tipi di cicli possibili che si hanno in
:
. L'insieme degli elementi rappresentativi sia
.
Consideriamo i 2-cicli e vogliamo trovare quanti elementi commutano con esso. Essendo
, allora l'elemento con tutti i punti fissi (l'identità o neutro) commuta, inoltre
cioè lo stesso
commuta. Non commuta con un 3-ciclo in quanto
non è abeliano. Quindi il tipo
ha come generico sottogruppo centralizzante:
cioè ![{\displaystyle |\operatorname {C} _{S_{3}}(x)|=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af72496b66e15206c70ba8eca36e66fa046e10f8)
e sono i tre sottogruppi delle riflessioni di ordine 2:
Consideriamo i 3-cicli e notiamo che essi formano il sottogruppo abeliano normale
, cioè quello alterno per cui per il tipo
si ottiene
cioè ![{\displaystyle |\operatorname {C} _{S_{3}}(x)|=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aaceea8f0e3b42f02d76b6e403a07109613f8e7)
e quindi sono due sottogruppi, uno per ogni 3-ciclo, coincidenti con
Infine per l'elemento neutro si ha
cioè ![{\displaystyle |\operatorname {C} _{S_{3}}(\mathrm {id} )|=6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0d1c031a2ee6e3ea4dd6c6184503378e7d25d4)
cioè coincide con il sottogruppo banale. Da notare che l'altro sottogruppo banale con solo l'unità non è centralizzante.
Si può procedere utilizzando la tabella di Cayley di
oppure col seguente metodo più semplice. Per i 2-cicli osserviamo che fissato, ad esempio,
come rappresentante della classe si ha:
dove sono stati omessi i punti fissi dei cicli per semplicità.
che ci permette di ottenere le tre classi di coniugio coincidenti:
cioè ![{\displaystyle |\operatorname {Co} (x)|=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6e431a8bb310fea3100ab2b7b242ffb1200568)
Per i 3-cicli allora, necessariamente, perché le classi di coniugio formano una partizione (con
come rappresentante della classe)
cioè ![{\displaystyle |\operatorname {Co} (\,(1\ 2\ 3)\,)|=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a09225b6c56c08a7dab5579196d88391aef815d)
Da quanto visto è facile verificare l'equazione delle classi di coniugio
![{\displaystyle |S_{3}|=6=|\operatorname {Z} (S_{3})|+Co(\,(1\ 2)(3)\,)+|\operatorname {Co} (\,(1\ 2\ 3)\,)|=|\operatorname {Z} (S_{3})|+{\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}((3)(1\ 2))|}}+{\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}((1\ 2\ 3))|}}=1+3+2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0bb3f4fb1e102306f24d5afe35d7fc41eeabc6)
Riassumendo e tenendo conto dell'esempio sulle classi laterali di
:
Classi di coniugio e centralizzanti di
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) | ![{\displaystyle {Co}_{G}(x)\subseteq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233838474a77c83b6954a159392c1a2f3abcc389) | ![{\displaystyle H\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c017471513c8b1345c68cf521c2a7c451bad4e) | ![{\displaystyle G/\sim _{\cdot H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4ec11eeb43f55c0d5b0b8d81b804fb6d2b8fdd) | ![{\displaystyle {Co}(H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da92059a4ae4b69971867e31a0e200c00bfe7ae) | |
![{\displaystyle \sigma ^{'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c5b34b9a9db75785957bb3a47fdc5bb438966f) | ![{\displaystyle Co(\sigma ^{'})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8504f0b33a60044614e74c924d203d789c604d) | ![{\displaystyle T_{2}^{'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4683c8c06f4f91e50f2471e8bfd53b982293ec34) | ![{\displaystyle T_{2}^{'},\{C_{3},\sigma ^{''}\},\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb1a25acce7fe9dd35cea2ec97403adb4a9c6fd) | ![{\displaystyle \{T_{2}^{'},T_{2}^{''},T_{2}^{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2a4f3ba5079097f5ef5c3aa28c88696d926844) | 3 |
![{\displaystyle Co(\sigma ^{''})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2835435b54a5404dce2cb0e495a62669b196a64) | ![{\displaystyle T_{2}^{''}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce3e6666d414ce5e591c1d0fc979cb55c073169) | |
![{\displaystyle Co(\sigma ^{'''})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff537a4000d7ba4c15f8ae5d80423772a1245b5) | ![{\displaystyle T_{2}^{'''}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89495cdd8cf9d6e63196c2bf47cd032fda039f9) | |
![{\displaystyle C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e9abeb5057b7afbf88e3169101849354f13c65) | ![{\displaystyle Co(C_{3})=Co(C_{3}^{2})=\{C_{3},C_{3}^{2}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c37dac0afb74782739bb7fc6539bb097ceabab3) | ![{\displaystyle A_{3}\vartriangleleft S_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3022ab7cb71ed9b1d49da299465654dff136526a) | ![{\displaystyle A_{3},\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee74214d9ac0339bc094092856bdee6e4dde1df) | ![{\displaystyle \{A_{3}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb81ba65e0a771efce99abc46da7fcb5b5b3b9b) | 2 |
![{\displaystyle \mathrm {id} =C_{3}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6ae66328ff6b74db4908cfeeb2c84ca42354ad) | ![{\displaystyle \operatorname {Z} (S_{3})=\{C_{3}^{3}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de89d844218039094546d4c43af56cac416f4e61) | ![{\displaystyle S_{3}\trianglelefteq S_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7b1eaec8deb0b2a0786e54b4e994fca5e16749) | ![{\displaystyle S_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e15f3e200aaa247f69c43110cc5a09ecc91b89) | ![{\displaystyle \{S_{3}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb4d4259e35dc1ac6c57a04538c2c2cbcce17461) | 1 |
dove
è il rappresentante della classe di coniugio,
è il sottogruppo
e
l'insieme dei sottogruppi coniugati di
L'ultima colonna evidenzia il teorema orbita-stabilizzatore.
Questo esempio fa uso dell'equazione delle classi di coniugio per dimostrare una proprietà dei
-gruppi.
Consideriamo un
-gruppo finito
cioè:
![{\displaystyle |G|=p^{n},\quad p\in \mathbf {P} ,n\in \mathbb {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead11b11a70507bd71d9b210deb6bcc9ffb0b93f)
dove
è l'insieme dei numeri primi e
quello dei numeri naturali. Vogliamo dimostrare che "ogni
-gruppo finito ha un centro
non banale", cioè che non sia formato dal solo elemento neutro del gruppo (
).
Poiché l'ordine di qualsiasi classe di coniugio di
deve dividere l'ordine di
ne segue che qualsiasi classe di coniugio
ha ordine
[postille 1] Mentre si ha pure
Nell'equazione delle classi:
![{\displaystyle |G|=\sum _{i}|\operatorname {Co} (y_{i})|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886508285cbde66a396afeca1d10ddaad33e8b61)
divide
e quindi divide anche
che dimostra un centro non banale.
Si può studiare l'equazione delle classi di coniugio applicando la serie geometrica in un caso limite:
![{\displaystyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|\operatorname {Co} (y_{i})|+\sum _{j=1}^{n_{O}}p^{k_{j}}=n_{Oz}+p+p^{2}+\ldots +p^{(n-1)}={\frac {p}{p-1}}(p^{n}-2p^{(n-1)}+1)+\sum _{j=1}^{n-1}p^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122f025ca558a1ed4285066d6b24dae69656e1b9)
Si deduce che
, cioè il centro non è banale. Da notare che in qualsiasi altro caso l'ordine del centro contiene sempre il fattore
[postille 2]
Casi particolari
- per
,
è un gruppo abeliano e si ha
, cioè isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
- per
,
è un gruppo abeliano e si ha
, cioè isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine
Infatti qualsiasi elemento
ammette i seguenti due casi:
allora
è isomorfo al gruppo ciclico di ordine
quindi abeliano con
.
ed essendo
un
-gruppo per quanto dimostrato sopra
che implica due casi
e
allora esiste un elemento
di
che non appartiene al centro di ![{\displaystyle G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a)
- Da notare che
include
e il centro che non contiene
ma almeno
elementi. Quindi l'ordine di
è strettamente maggiore di
e si ha:
quindi un assurdo. Ne concludiamo che
è abeliano e isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici ciascuno di ordine
, come nel caso 1.
cioè coincide con l'intero gruppo e le classi di coniugazione sono formate da un solo elemento, come nel caso 1.
- ^ (EN) Lang S., II. Groups, in Undergraduate Algebra, 3ª ed., Springer Verlag, 2005, ISBN 978-0387220253.
- ^ a b (EN) Joseph J. Rotman, 3. Symmetric Groups and G-Sets, in An Introduction to the Theory of Groups, 4ª ed., Springer, 1994, ISBN 978-0387942858.
- ^ (EN) Dummit David S.; Foote Richard M., Abstract Algebra, 3ª ed., John Wiley & Sons, 2004, ISBN 0-471-43334-9.
- ^ (EN) Humphreys, J.F., 10. The Orbit-Stabiliser Theorem, in A Course in Group Theory, 1ª ed., OUP, 1996, ISBN 9780198534594.
- ^ (EN) Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra, 2ª ed., Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891, OCLC 294885194. URL consultato l'8 novembre 2018.
- ^ (EN) Pierre Antoine Grillet, The Class Equation, in Abstract Algebra, 2ª ed., Springer Verlag, 2007, p. 57, ISBN 978-0387715674.
- Postille
- ^ a b Nel caso di centro non banale distinguiamo due sistemi rappresentativi delle classi di coniugio e due indici:
dove con
si indica un generico elemento che non sta nel centro;
dove con
si indica un generico elemento che sta nel centro.
Inoltre si ha:
che indica il numero di orbite o classi non del centro;
che indica il numero di orbite o classi del centro.
Se il centro è banale si utilizza un solo sistema con
- ^ Ad esempio
si ottiene il caso limite ![{\displaystyle |G|=8={\frac {2}{2-1}}(2^{3}-2\cdot 2^{(3-1)}+1)+2+4=2(8-8+1)+2+4=(1+1)+2+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57655f38c6c3b6fe21d59a95c33b4c62d9542880)
quindi