Caustica riflessiva generata da un cerchio e da raggi paralleli In geometria differenziale e ottica geometrica , una caustica è l'inviluppo di raggi riflessi o rifratti da una varietà . È legata al concetto di caustica in ottica . La sorgente del raggio può essere un punto (chiamato radiante) o raggi paralleli da un punto all'infinito, nel qual caso deve essere specificato un vettore di direzione dei raggi.
Più in generale, specialmente quando applicata alla geometria simplettica e alla teoria delle singolarità , una caustica è l'insieme dei valori critici della mappatura lagrangiana (π ○ i ) : L ↪ M ↠ B ; dove i : L ↪ M è una immersione lagrangiana di una sottovarietà lagrangiana L in una varietà simplettica M , e π : M ↠ B è a fibrazione lagrangiana della varietà simplettica M . La caustica è un sottoinsieme dello spazio di base B della fibrazione lagrangiana.[ 1]
Una catacaustica è il caso riflessivo.
Con un radiante, è l'evoluta dell'ortotomica del radiante.
Il caso dei raggi planari, paralleli alla sorgente: si supponga che il vettore di direzione sia ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} e che la curva speculare sia parametrizzata come ( u ( t ) , v ( t ) ) {\displaystyle (u(t),v(t))} . Il vettore normale in un punto è ( − v ′ ( t ) , u ′ ( t ) ) {\displaystyle (-v'(t),u'(t))} ; il riflesso del vettore di direzione è (la normale richiede una normalizzazione speciale)
2 proj n d − d = 2 n n ⋅ n n ⋅ d n ⋅ n − d = 2 n n ⋅ d n ⋅ n − d = ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 , b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) v ′ 2 + u ′ 2 {\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}} Facendo trattare alle componenti del vettore riflesso trovato con me una tangente
( x − u ) ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) = ( y − v ) ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) . {\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).} Usando la forma più semplice di inviluppo
F ( x , y , t ) = ( x − u ) ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) − ( y − v ) ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) {\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})} = x ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) − y ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) + b ( u v ′ 2 − u u ′ 2 − 2 v u ′ v ′ ) + a ( − v u ′ 2 + v v ′ 2 + 2 u u ′ v ′ ) {\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')} F t ( x , y , t ) = 2 x ( b u ′ u ″ − a ( u ′ v ″ + u ″ v ′ ) − b v ′ v ″ ) − 2 y ( a v ′ v ″ − b ( u ″ v ′ + u ′ v ″ ) − a u ′ u ″ ) + b ( u ′ v ′ 2 + 2 u v ′ v ″ − u ′ 3 − 2 u u ′ u ″ − 2 u ′ v ′ 2 − 2 u ″ v v ′ − 2 u ′ v v ″ ) + a ( − v ′ u ′ 2 − 2 v u ′ u ″ + v ′ 3 + 2 v v ′ v ″ + 2 v ′ u ′ 2 + 2 v ″ u u ′ + 2 v ′ u u ″ ) {\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')+b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')} che può essere antiestetico, ma F = F t = 0 {\displaystyle F=F_{t}=0} dà un sistema lineare in ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} e così è elementare ottenere una parametrizzazione della catacaustica. Servirebbe la regola di Cramer .
Il vettore di direzione sia (0,1) e lo specchio sia ( t , t 2 ) . {\displaystyle (t,t^{2}).} Allora
u ′ = 1 {\displaystyle u'=1} u ″ = 0 {\displaystyle u''=0} v ′ = 2 t {\displaystyle v'=2t} v ″ = 2 {\displaystyle v''=2} a = 0 {\displaystyle a=0} b = 1 {\displaystyle b=1} F ( x , y , t ) = ( x − t ) ( 1 − 4 t 2 ) + 4 t ( y − t 2 ) = x ( 1 − 4 t 2 ) + 4 t y − t {\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t} F t ( x , y , t ) = − 8 t x + 4 y − 1 {\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1} e F = F t = 0 {\displaystyle F=F_{t}=0} ha soluzione ( 0 , 1 / 4 ) {\displaystyle (0,1/4)} ; cioè , la luce che entra in uno specchio parabolico parallelo al suo asse è riflesso attraverso il fuoco.