In matematica e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle secanti e il metodo delle tangenti sono metodi largamente utilizzati per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma
.
Il metodo delle secanti è un semplice metodo convergente, ma generalmente è molto lento, richiede molti passi per raggiungere una precisione accettabile, mentre il metodo delle tangenti è più veloce (fornisce buoni risultati in pochi passi).
Se
, quindi se
è decrescente e concava (fig. 1) oppure se
è crescente e convessa.
Il metodo delle tangenti costruisce una successione
decrescente che approssima per eccesso la radice.
Il metodo delle secanti costruisce una successione
crescente che approssima per difetto la radice.
Se
quindi se
è crescente e concava (fig. 3) oppure
è decrescente e convessa.
Il metodo delle tangenti costruisce una successione
crescente che approssima per difetto la radice.
Il metodo delle secanti costruisce una successione
decrescente che approssima per eccesso la radice.
Quindi usati insieme, i due metodi, forniscono approssimazioni per eccesso e per difetto dell'unica radice dell'equazione
.
È possibile perciò, ove la funzione
verifichi le ipotesi, utilizzare contemporaneamente i due metodi, iterando l'applicazione di essi finché i valori approssimati per eccesso e per difetto distino meno della precisione ε scelta.
Esempio 1: determinare le radici di
a meno di
.
La funzione è definita e continua in
, inoltre, poiché
e
la curva incontra l'asse delle
in almeno un punto.
Dallo studio delle derivate prima e seconda
e
si ricava che la funzione ha un massimo relativo in
, un minimo relativo in
e un flesso a tangente obliqua in
e quindi la curva interseca l'asse delle
in un solo punto. Inoltre
e
; perciò
. Sono soddisfatte le condizioni richieste per potere usare i metodi delle tangenti e delle secanti.
Applicando il metodo delle tangenti, essendo
crescente e convessa nell'intervallo
si trovano valori approssimati per eccesso. Si traccia la tangente in
, in quanto è in esso che la funzione e la derivata seconda sono concordi. Utilizzando la seguente relazione di ricorrenza si ottiene
poiché risulta
, iterando ulteriormente si ottiene
da cui
e quindi
è la radice approssimata per eccesso a meno
dopo 4 iterazioni.
Applicando il metodo delle secanti, essendo
e
i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, dalla formula
si ricavano i seguenti valori approssimati per difetto:
la seconda secante passa per i punti
e
essendo
da cui
dopo 6 iterazioni, essendo
,
è la radice approssimata per difetto a meno
. Confrontando i valori ottenuti con i due metodi, si osserva che il valore
è esatto alla quarta cifra decimale.
Esempio 2: determinare le radici di
a meno di
Sia
. Si scrive l'equazione nella forma
e si considerano le funzioni di equazioni
e
.
Dalla rappresentazione grafica in uno stesso sistema di riferimento cartesiano delle due funzioni, si ricava che le due curve si intersecano nel solo punto
, pertanto l'equazione ammette una sola radice, che è l'ascissa del punto
ed essendo
e
, tale radice appartiene all'intervallo
. Dallo studio delle derivate prima e seconda, la funzione
è decrescente e convessa nell'intervallo
; quindi utilizzando il metodo delle tangenti, partendo dall'estremo
in cui la funzione
e la derivata seconda sono concordi si ricavano le seguenti approssimazioni per difetto
poiché risulta
si ottiene che il valore approssimato per difetto della radice a meno di
è
dopo 3 iterazioni.
Applicando il metodo delle secanti essendo
e
i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, si ottengono i seguenti valori approssimati per eccesso:
.
La seconda secante passa per i punti
e
essendo
da cui
;
essendo
,
è la radice approssimata per eccesso a meno di
dopo 4 iterazioni; questo valore coincide con quello trovato con il metodo delle tangenti, ma con un maggior numero di iterazioni.