L'area della regione blu converge alla costante di Eulero-Mascheroni , che è la 0-esima costante di Stieltjes. In matematica , le costanti di Stieltjes γ n {\displaystyle \gamma _{n}} sono i coefficienti che compaiono nell'espansione in serie di Laurent della funzione zeta di Riemann :
ζ ( s ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( s − 1 ) n . {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}.} La costante γ 0 = γ = 0 , 577 … {\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0,577\ldots } è più nota come costante di Eulero-Mascheroni .
Le costanti di Stieltjes sono date dal limite
γ n = lim m → ∞ { ∑ k = 1 m ( ln k ) n k − ( ln m ) n + 1 n + 1 } , {\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right\}},} nel caso n = 0 {\displaystyle n=0} , nella prima sommatoria compare 0 0 {\displaystyle 0^{0}} , che si pone uguale a 1.
La formula di Cauchy fornisce una rappresentazione integrale
γ n = ( − 1 ) n n ! 2 π ∫ 0 2 π e − n i x ζ ( e i x + 1 ) d x . {\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.} Altre rappresentazioni in termini di serie e integrali compaiono nei lavori di Jensen , Franel, Hermite , Hardy , Ramanujan , Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine e altri autori.[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] In particolare, la formula integrale di Jensen-Franel, spesso attribuita erroneamente a Ainsworth e Howell, afferma che
γ n = 1 2 δ n , 0 + 1 i ∫ 0 ∞ d x e 2 π x − 1 { ( ln ( 1 − i x ) ) n 1 − i x − ( ln ( 1 + i x ) ) n 1 + i x } , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \gamma _{n}={\frac {1}{2}}\delta _{n,0}+{\frac {1}{i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(1-ix))^{n}}{1-ix}}-{\frac {(\ln(1+ix))^{n}}{1+ix}}\right\}\,,\qquad \quad n=0,1,2,\ldots } dove δ n , k {\displaystyle \delta _{n,k}} è la delta di Kronecker .[ 5] [ 7] Inoltre, si hanno le seguenti identità[ 1] [ 5] [ 9]
γ n = − π 2 ( n + 1 ) ∫ − ∞ ∞ ( ln ( 1 2 ± i x ) ) n + 1 cosh 2 π x d x n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \gamma _{n}=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(\ln \left({\frac {1}{2}}\pm ix\right)\right)^{n+1}}{\cosh ^{2}\pi x}}\,dx\qquad n=0,1,2,\ldots } γ 1 = − [ γ − ln 2 2 ] ln 2 + i ∫ 0 ∞ d x e π x + 1 { ln ( 1 − i x ) 1 − i x − ln ( 1 + i x ) 1 + i x } γ 1 = − γ 2 − ∫ 0 ∞ [ 1 1 − e − x − 1 x ] e − x ln x d x . {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}=-\left[\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\right]\ln 2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{\pi x}+1}}\left\{{\frac {\ln(1-ix)}{1-ix}}-{\frac {\ln(1+ix)}{1+ix}}\right\}\\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma ^{2}-\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right]e^{-x}\ln x\,dx.\end{array}}} Per quanto riguarda le rappresentazioni in serie, nel 1912 Hardy [ 10] trovò la seguente serie in cui compare la parte intera di un logaritmo,
γ 1 = ln 2 2 ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k k ⌊ log 2 k ⌋ ⋅ ( 2 log 2 k − ⌊ log 2 2 k ⌋ ) . {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\ln 2}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\lfloor \log _{2}{k}\rfloor \cdot \left(2\log _{2}{k}-\lfloor \log _{2}{2k}\rfloor \right).} Israilov[ 11] scoprì una serie semiconvergente in termini dei numeri di Bernoulli B 2 k {\displaystyle B_{2k}}
γ m = ∑ k = 1 n ( ln k ) m k − ( ln n ) m + 1 m + 1 − ( ln n ) m 2 n − ∑ k = 1 N − 1 B 2 k ( 2 k ) ! [ ( ln x ) m x ] x = n ( 2 k − 1 ) − θ ⋅ B 2 N ( 2 N ) ! [ ( ln x ) m x ] x = n ( 2 N − 1 ) , 0 < θ < 1 {\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(\ln k)^{m}}{k}}-{\frac {(\ln n)^{m+1}}{m+1}}-{\frac {(\ln n)^{m}}{2n}}-\sum _{k=1}^{N-1}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left[{\frac {(\ln x)^{m}}{x}}\right]_{x=n}^{(2k-1)}-\theta \cdot {\frac {B_{2N}}{(2N)!}}\left[{\frac {(\ln x)^{m}}{x}}\right]_{x=n}^{(2N-1)}\,,\qquad 0<\theta <1} Connon,[ 12] Blagouchine[ 7] e Coppo[ 1] fornirono invece molte serie che coinvolgono i coefficienti binomiali
γ m = − 1 m + 1 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( ln ( k + 1 ) ) m + 1 γ m = − 1 m + 1 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 2 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( ln ( k + 1 ) ) m + 1 k + 1 γ m = ∑ n = 0 ∞ | G n + 1 | ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( ln ( k + 1 ) ) m k + 1 {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(\ln(k+1))^{m+1}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+2}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m+1}}{k+1}}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{n=0}^{\infty }\left|G_{n+1}\right|\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}}\end{array}}} dove G n {\displaystyle G_{n}} sono i coefficienti di Gregory , anche conosciuti come numeri logaritmici reciproci[ 13] ( G 1 = + 1 / 2 {\displaystyle G_{1}=+1/2} , G 2 = − 1 / 12 {\displaystyle G_{2}=-1/12} , G 3 = + 1 / 24 {\displaystyle G_{3}=+1/24} , G 4 = − 19 / 720 {\displaystyle G_{4}=-19/720} ,... ). Oloa e Tauraso[ 14] mostrarono che certe serie con i numeri armonici conducono alle costanti di Stieltjes
∑ n = 1 ∞ H n − ( γ + ln n ) n = − γ 1 − 1 2 γ 2 + 1 12 π 2 ∑ n = 1 ∞ H n 2 − ( γ + ln n ) 2 n = − γ 2 − 2 γ γ 1 − 2 3 γ 3 + 5 3 ζ ( 3 ) {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}-(\gamma +\ln n)}{n}}=-\gamma _{1}-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}+{\frac {1}{12}}\pi ^{2}\\[6mm]\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}-(\gamma +\ln n)^{2}}{n}}=-\gamma _{2}-2\gamma \gamma _{1}-{\frac {2}{3}}\gamma ^{3}+{\frac {5}{3}}\zeta (3)\end{array}}} Blagouchine[ 7] ottenne una serie lentamente convergente in cui compaiono i numeri di Stirling del primo tipo senza segno [ ⋅ ⋅ ] {\displaystyle \left[{\cdot \atop \cdot }\right]}
γ m = 1 2 δ m , 0 + ( − 1 ) m m ! π ∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ n ! ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k ⋅ [ 2 k + 2 m + 1 ] ⋅ [ n 2 k + 1 ] ( 2 π ) 2 k + 1 , m = 0 , 1 , 2 , . . . , {\displaystyle \gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+{\frac {(-1)^{m}m!}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}\cdot \left[{2k+2 \atop m+1}\right]\cdot \left[{n \atop 2k+1}\right]}{(2\pi )^{2k+1}}}\,,\qquad m=0,1,2,...,} insieme a una serie semiconvergente con solo termini razionali
γ m = 1 2 δ m , 0 + ( − 1 ) m m ! ⋅ ∑ k = 1 N [ 2 k m + 1 ] ⋅ B 2 k ( 2 k ) ! + θ ⋅ ( − 1 ) m m ! ⋅ [ 2 N + 2 m + 1 ] ⋅ B 2 N + 2 ( 2 N + 2 ) ! , 0 < θ < 1 , {\displaystyle \gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+(-1)^{m}m!\cdot \sum _{k=1}^{N}{\frac {\left[{2k \atop m+1}\right]\cdot B_{2k}}{(2k)!}}+\theta \cdot {\frac {(-1)^{m}m!\cdot \left[{2N+2 \atop m+1}\right]\cdot B_{2N+2}}{(2N+2)!}},\qquad 0<\theta <1,} dove M = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle M=0,1,2,\ldots } . In particolare, la serie per la prima costante di Stieltjes ha una forma sorprendentemente semplice
γ 1 = − 1 2 ∑ k = 1 N B 2 k ⋅ H 2 k − 1 k + θ ⋅ B 2 N + 2 ⋅ H 2 N + 1 2 N + 2 , 0 < θ < 1 , {\displaystyle \gamma _{1}=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}\cdot H_{2k-1}}{k}}+\theta \cdot {\frac {B_{2N+2}\cdot H_{2N+1}}{2N+2}},\qquad 0<\theta <1,} dove H n {\displaystyle H_{n}} è l' n {\displaystyle n} -esimo numero armonico .[ 7] Delle serie molto più complicate sono fornite negli scritti di Lehmer, Liang, Todd, Lavrik, Israilov, Stankus, Keiper, Nan-You, Williams, Coffey.[ 2] [ 3] [ 7]
Le costanti di Stieltjes in valore assoluto soddisfano il seguente maggiorante
| γ n | ≤ { 2 ( n − 1 ) ! π n , n = 1 , 3 , 5 , … 4 ( n − 1 ) ! π n , n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[3mm]\displaystyle {\frac {4(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}} scoperto da Berndt nel 1972.[ 15] Migliori stime in termini di funzioni elementari furono ottenute da Lavrik[ 16]
| γ n | ≤ n ! 2 n + 1 , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\frac {n!}{2^{n+1}}},\qquad n=1,2,3,\ldots } e da Israilov[ 11]
| γ n | ≤ n ! C ( k ) ( 2 k ) n , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\frac {n!C(k)}{(2k)^{n}}},\qquad n=1,2,3,\ldots } con k = 1 , 2 , … {\displaystyle k=1,2,\ldots } e C ( 1 ) = 1 / 2 {\displaystyle C(1)=1/2} , C ( 2 ) = 7 / 12 {\displaystyle C(2)=7/12} ,...; da Nan-You e Williams[ 17]
| γ n | ≤ { 2 ( 2 n ) ! n n + 1 ( 2 π ) n , n = 1 , 3 , 5 , … 4 ( 2 n ) ! n n + 1 ( 2 π ) n , n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[4mm]\displaystyle {\frac {4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}} e inoltre da Blagouchine[ 7]
− | B m + 1 | m + 1 < γ m < ( 3 m + 8 ) ⋅ | B m + 3 | 24 − | B m + 1 | m + 1 , m = 1 , 5 , 9 , … | B m + 1 | m + 1 − ( 3 m + 8 ) ⋅ | B m + 3 | 24 < γ m < | B m + 1 | m + 1 , m = 3 , 7 , 11 , … − | B m + 2 | 2 < γ m < ( m + 3 ) ( m + 4 ) ⋅ | B m + 4 | 48 − | B m + 2 | 2 , m = 2 , 6 , 10 , … | B m + 2 | 2 − ( m + 3 ) ( m + 4 ) ⋅ | B m + 4 | 48 < γ m < | B m + 2 | 2 , m = 4 , 8 , 12 , … {\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle -{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}}<\gamma _{m}<{\frac {(3m+8)\cdot {\big |}{B}_{m+3}{\big |}}{24}}-{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}},&m=1,5,9,\ldots \\[12pt]\displaystyle {\frac {{\big |}B_{m+1}{\big |}}{m+1}}-{\frac {(3m+8)\cdot {\big |}B_{m+3}{\big |}}{24}}<\gamma _{m}<{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}},&m=3,7,11,\ldots \\[12pt]\displaystyle -{\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}}<\gamma _{m}<{\frac {(m+3)(m+4)\cdot {\big |}{B}_{m+4}{\big |}}{48}}-{\frac {{\big |}B_{m+2}{\big |}}{2}},\qquad &m=2,6,10,\ldots \\[12pt]\displaystyle {\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}}-{\frac {(m+3)(m+4)\cdot {\big |}{B}_{m+4}{\big |}}{48}}<\gamma _{m}<{\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}},&m=4,8,12,\ldots \\\end{array}}} dove B n {\displaystyle B_{n}} sono i numeri di Bernoulli . Infine si ha la seguente stima di Matsuoka[ 18] [ 19]
| γ n | < 10 − 4 e n ln ln n , n = 5 , 6 , 7 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|<10^{-4}e^{n\ln \ln n}\,,\qquad n=5,6,7,\ldots } Per quanto riguarda le stime per mezzo di funzioni non elementari e loro soluzioni, Knessl, Coffey[ 20] and Fekih-Ahmed[ 21] ottennero dei risultati abbastanza precisi. Per esempio, Knessl e Coffey fornirono la seguente formula che approssima le costanti di Stieltjes relativamente bene per n {\displaystyle n} grande.[ 20] Se v {\displaystyle v} è la soluzione unica di
2 π exp ( v tan v ) = n cos ( v ) v {\displaystyle 2\pi \exp(v\tan v)=n{\frac {\cos(v)}{v}}} con 0 < v < π / 2 {\displaystyle 0<v<\pi /2} , e se u = v tan v {\displaystyle u=v\tan v} , allora
γ n ∼ B n e n A cos ( a n + b ) {\displaystyle \gamma _{n}\sim {\frac {B}{\sqrt {n}}}e^{nA}\cos(an+b)} dove
A = 1 2 ln ( u 2 + v 2 ) − u u 2 + v 2 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\ln(u^{2}+v^{2})-{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}} B = 2 2 π u 2 + v 2 [ ( u + 1 ) 2 + v 2 ] 1 / 4 {\displaystyle B={\frac {2{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}{[(u+1)^{2}+v^{2}]^{1/4}}}} a = tan − 1 ( v u ) + v u 2 + v 2 {\displaystyle a=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)+{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}} b = tan − 1 ( v u ) − 1 2 ( v u + 1 ) . {\displaystyle b=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{u+1}}\right).} Fino a n = 100000 {\displaystyle n=100000} , l'approssimazione di Knessl-Coffey ha predetto correttamente il segno di γ n {\displaystyle \gamma _{n}} , con la singola eccezione di n = 137 {\displaystyle n=137} .[ 20]
I primi valori di γ n {\displaystyle \gamma _{n}} sono:
n {\displaystyle n} valore approssimato di γ n {\displaystyle \gamma _{n}} OEIS 0 +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 A001620 1 −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 A082633 2 −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 A086279 3 +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 A086280 4 +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 A086281 5 +0,0007933238173010627017533348774444448307315394 A086282 6 −0,0002387693454301996098724218419080042777837151 A183141 7 −0,0005272895670577510460740975054788582819962534 A183167 8 −0,0003521233538030395096020521650012087417291805 A183206 9 −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 A184853 10 +0,0002053328149090647946837222892370653029598537 A184854 100 −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017 1000 −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486 10000 −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883 100000 +1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432
Per n {\displaystyle n} grande, le costanti di Stieltjes crescono rapidamente in valore assoluto, e cambiano segno con uno schema molto complesso.
Si possono trovare ulteriori informazioni sulla valutazione numerica delle costanti di Stieltjes nei lavori di Keiper,[ 22] Kreminski,[ 23] Plouffe[ 24] e Johansson.[ 25] L'ultimo autore ha dato i valori delle costanti di Stieltjes fino a n = 100000 {\displaystyle n=100000} , ciascuna precisa alla 10000ª cifra. I valori numeri si possono trovare anche in LMFDB [ 26] .
Più in generale, si possono definire le costanti di Stieltjes γ n ( a ) {\displaystyle \gamma _{n}(a)} che compaiono nella serie di Laurent della funzione zeta di Hurwitz :
ζ ( s , a ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( a ) ( s − 1 ) n , {\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n},} dove a {\displaystyle a} è un numero complesso con Re ( a ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0} . Dal momento che la funzione zeta di Hurwitz è una generalizzazione della funzione zeta di Riemann, si ha che γ n ( 1 ) = γ n {\displaystyle \gamma _{n}(1)=\gamma _{n}} . La costante con n = 0 {\displaystyle n=0} è semplicemente la funzione digamma γ 0 ( a ) = − ψ ( a ) {\displaystyle \gamma _{0}(a)=-\psi (a)} ,[ 27] mentre non si sa se anche le altre costanti sono riconducibili a una funzione elementare o classica dell'analisi. A ogni modo, esistono numerose rappresentazioni per queste costanti. Per esempio, esiste la seguente rappresentazione asintotica
γ n ( a ) = lim m → ∞ { ∑ k = 0 m ( ln ( k + a ) ) n k + a − ( ln ( m + a ) ) n + 1 n + 1 } , n = 0 , 1 , 2 , … a ≠ 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle \gamma _{n}(a)=\lim _{m\to \infty }\left\{\sum _{k=0}^{m}{\frac {(\ln(k+a))^{n}}{k+a}}-{\frac {(\ln(m+a))^{n+1}}{n+1}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}} dovuta a Berndt e Wilton. L'analoga per le costanti di Stieltjes generalizzate della formula di Jensen-Franel è la formula di Hermite [ 5]
γ n ( a ) = [ 1 2 a − ln a n + 1 ] ( ln a ) n − i ∫ 0 ∞ d x e 2 π x − 1 { ( ln ( a − i x ) ) n a − i x − ( ln ( a + i x ) ) n a + i x } , n = 0 , 1 , 2 , … a ≠ 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle \gamma _{n}(a)=\left[{\frac {1}{2a}}-{\frac {\ln {a}}{n+1}}\right](\ln a)^{n}-i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(a-ix))^{n}}{a-ix}}-{\frac {(\ln(a+ix))^{n}}{a+ix}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}} Le costanti di Stieltjes generalizzate soddisfano la seguente relazione ricorsiva
γ n ( a + 1 ) = γ n ( a ) − ( ln a ) n a , n = 0 , 1 , 2 , … a ≠ 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle \gamma _{n}(a+1)=\gamma _{n}(a)-{\frac {(\ln a)^{n}}{a}}\,,\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}} come anche il teorema di moltiplicazione
∑ l = 0 n − 1 γ p ( a + l n ) = ( − 1 ) p n [ ln n p + 1 − Ψ ( a n ) ] ( ln n ) p + n ∑ r = 0 p − 1 ( − 1 ) r ( p r ) γ p − r ( a n ) ⋅ ( ln n ) r , n = 2 , 3 , 4 , … {\displaystyle \sum _{l=0}^{n-1}\gamma _{p}\left(a+{\frac {l}{n}}\right)=(-1)^{p}n\left[{\frac {\ln n}{p+1}}-\Psi (an)\right](\ln n)^{p}+n\sum _{r=0}^{p-1}(-1)^{r}{\binom {p}{r}}\gamma _{p-r}(an)\cdot (\ln n)^{r}\,,\qquad \qquad n=2,3,4,\ldots } dove ( p r ) {\displaystyle {\binom {p}{r}}} indica il coefficiente binomiale .[ 28] [ 29]
La prima costante di Stieltjes generalizzata possiede un bel numero di proprietà notevoli.
Identità di Malmsten (formula di riflessione per la prima costante generalizzata): la formula di riflessione per la prima costante di Stieltjes generalizzata è la seguente γ 1 ( m n ) − γ 1 ( 1 − m n ) = 2 π ∑ l = 1 n − 1 sin 2 π m l n ⋅ ln Γ ( l n ) − π ( γ + ln 2 π n ) cot m π n {\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}} dove m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} sono due interi positivi tali che m < n {\displaystyle m<n} . Questa formula è stata attribuita per lungo tempo a Almkvist e Meurman, che la derivarono negli anni '90.[ 30] Tuttavia, si è recentemente scoperto che l'identità, sebbene in una forma leggermente diversa, fu per la prima volta ottenuta da Carl Malmsten nel 1846.[ 5] [ 31]
Teorema degli argomenti razionali: la prima costante di Stieltjes generalizzata può essere calcolata nei numeri razionali in forma quasi-chiusa attraverso la seguente formula[ 5] [ 27] γ 1 ( r m ) = γ 1 + γ 2 + γ ln 2 π m + ln 2 π ⋅ ln m + 1 2 ( ln m ) 2 + ( γ + ln 2 π m ) ⋅ Ψ ( r m ) + π ∑ l = 1 m − 1 sin 2 π r l m ⋅ ln Γ ( l m ) + ∑ l = 1 m − 1 cos 2 π r l m ⋅ ζ ″ ( 0 , l m ) , r = 1 , 2 , 3 , … , m − 1. {\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+\gamma ^{2}+\gamma \ln 2\pi m+\ln 2\pi \cdot \ln {m}+{\frac {1}{2}}(\ln m)^{2}+(\gamma +\ln 2\pi m)\cdot \Psi \left({\frac {r}{m}}\right)\\[5mm]\displaystyle &\displaystyle \qquad +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)\end{array}}\,,\qquad \quad r=1,2,3,\ldots ,m-1.} Una dimostrazione alternativa fu successivamente proposta da Coffey[ 32] e molti altri autori.
Somme finite: esistono molte sommatorie che riguardano la prima costante di Stieltjes generalizzata. Per esempio: ∑ r = 0 m − 1 γ 1 ( a + r m ) = m ln m ⋅ Ψ ( a m ) − m 2 ( ln m ) 2 + m γ 1 ( a m ) , a ∈ C ∑ r = 1 m − 1 γ 1 ( r m ) = ( m − 1 ) γ 1 − m γ ln m − m 2 ( ln m ) 2 ∑ r = 1 2 m − 1 ( − 1 ) r γ 1 ( r 2 m ) = − γ 1 + m ( 2 γ + ln 2 + 2 ln m ) ln 2 ∑ r = 0 2 m − 1 ( − 1 ) r γ 1 ( 2 r + 1 4 m ) = m { 4 π ln Γ ( 1 4 ) − π ( 4 ln 2 + 3 ln π + ln m + γ ) } ∑ r = 1 m − 1 γ 1 ( r m ) ⋅ cos 2 π r k m = − γ 1 + m ( γ + ln 2 π m ) ln ( 2 sin k π m ) + m 2 { ζ ″ ( 0 , k m ) + ζ ″ ( 0 , 1 − k m ) } , k = 1 , 2 , … , m − 1 ∑ r = 1 m − 1 γ 1 ( r m ) ⋅ sin 2 π r k m = π 2 ( γ + ln 2 π m ) ( 2 k − m ) − π m 2 { ln π − ln sin k π m } + m π ln Γ ( k m ) , k = 1 , 2 , … , m − 1 ∑ r = 1 m − 1 γ 1 ( r m ) ⋅ cot π r m = π 6 { ( 1 − m ) ( m − 2 ) γ + 2 ( m 2 − 1 ) ln 2 π − ( m 2 + 2 ) ln m } − 2 π ∑ l = 1 m − 1 l ⋅ ln Γ ( l m ) ∑ r = 1 m − 1 r m ⋅ γ 1 ( r m ) = 1 2 { ( m − 1 ) γ 1 − m γ ln m − m 2 ( ln m ) 2 } − π 2 m ( γ + ln 2 π m ) ∑ l = 1 m − 1 l ⋅ cot π l m − π 2 ∑ l = 1 m − 1 cot π l m ⋅ ln Γ ( l m ) {\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\gamma _{1}\left(a+{\frac {r}{m}}\right)=m\ln {m}\cdot \Psi (am)-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}+m\gamma _{1}(am)\,,\qquad a\in \mathbb {C} \\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma _{1}-m\gamma \ln {m}-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{2m-1}(-1)^{r}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{2m}}{\biggr )}=-\gamma _{1}+m(2\gamma +\ln 2+2\ln m)\ln 2\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=0}^{2m-1}(-1)^{r}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {2r+1}{4m}}{\biggr )}=m\left\{4\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}-\pi {\big (}4\ln 2+3\ln \pi +\ln m+\gamma {\big )}\right\}\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=-\gamma _{1}+m(\gamma +\ln 2\pi m)\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+{\frac {m}{2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta ''\left(0,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}\,,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(\gamma +\ln 2\pi m)(2k-m)-{\frac {\pi m}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {k\pi }{m}}\right\}+m\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {k}{m}}{\biggr )}\,,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=\displaystyle {\frac {\pi }{6}}{\Big \{}(1-m)(m-2)\gamma +2(m^{2}-1)\ln 2\pi -(m^{2}+2)\ln {m}{\Big \}}-2\pi \sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \ln \Gamma \left({\frac {l}{m}}\right)\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}={\frac {1}{2}}\left\{(m-1)\gamma _{1}-m\gamma \ln {m}-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}\right\}-{\frac {\pi }{2m}}(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \cot {\frac {\pi l}{m}}-{\frac {\pi }{2}}\sum _{l=1}^{m-1}\cot {\frac {\pi l}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}\end{array}}} Per ulteriori dettagli e sommatorie, vedere[ 5] [ 29] .
Alcuni valori particolari: Alcuni particolari valori di γ 1 ( a ) {\displaystyle \gamma _{1}(a)} con a {\displaystyle a} razionale si possono ricondurre alla funzione gamma , alla prima costante di Stieltjes e a qualche funzione elementare. Per esempio, γ 1 ( 1 2 ) = − 2 γ ln 2 − ( ln 2 ) 2 + γ 1 = − 1 , 353459680 … {\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)=-2\gamma \ln 2-(\ln 2)^{2}+\gamma _{1}=-1,353459680\ldots } I valori della prima costante di Stieltjes generalizzata nei punti 1 / 4 {\displaystyle 1/4} , 3 / 4 {\displaystyle 3/4} e 1 / 3 {\displaystyle 1/3} furono ottenuti indipendentemente da Connon[ 33] e Blagouchine[ 29]
γ 1 ( 1 4 ) = 2 π ln Γ ( 1 4 ) − 3 π 2 ln π − 7 2 ( ln 2 ) 2 − ( 3 γ + 2 π ) ln 2 − γ π 2 + γ 1 = − 5 , 518076350 … γ 1 ( 3 4 ) = − 2 π ln Γ ( 1 4 ) + 3 π 2 ln π − 7 2 ( ln 2 ) 2 − ( 3 γ − 2 π ) ln 2 + γ π 2 + γ 1 = − 0 , 3912989024 … γ 1 ( 1 3 ) = − 3 γ 2 ln 3 − 3 4 ( ln 3 ) 2 + π 4 3 { ln 3 − 8 ln 2 π − 2 γ + 12 ln Γ ( 1 3 ) } + γ 1 = − 3 , 259557515 … {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=2\pi \ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)-{\frac {3\pi }{2}}\ln \pi -{\frac {7}{2}}(\ln 2)^{2}-(3\gamma +2\pi )\ln 2-{\frac {\gamma \pi }{2}}+\gamma _{1}=-5,518076350\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=-2\pi \ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {3\pi }{2}}\ln \pi -{\frac {7}{2}}(\ln 2)^{2}-(3\gamma -2\pi )\ln 2+{\frac {\gamma \pi }{2}}+\gamma _{1}=-0,3912989024\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}+\gamma _{1}=-3,259557515\ldots \end{array}}} Nei punti 2 / 3 {\displaystyle 2/3} , 1 / 6 {\displaystyle 1/6} e 5 / 6 {\displaystyle 5/6}
γ 1 ( 2 3 ) = − 3 γ 2 ln 3 − 3 4 ( ln 3 ) 2 − π 4 3 { ln 3 − 8 ln 2 π − 2 γ + 12 ln Γ ( 1 3 ) } + γ 1 = − 0 , 5989062842 … γ 1 ( 1 6 ) = − 3 γ 2 ln 3 − 3 4 ( ln 3 ) 2 − ( ln 2 ) 2 − ( 3 ln 3 + 2 γ ) ln 2 + 3 π 3 2 ln Γ ( 1 6 ) − π 2 3 { 3 ln 3 + 11 ln 2 + 15 2 ln π + 3 γ } + γ 1 = − 10 , 74258252 … γ 1 ( 5 6 ) = − 3 γ 2 ln 3 − 3 4 ( ln 3 ) 2 − ( ln 2 ) 2 − ( 3 ln 3 + 2 γ ) ln 2 − 3 π 3 2 ln Γ ( 1 6 ) + π 2 3 { 3 ln 3 + 11 ln 2 + 15 2 ln π + 3 γ } + γ 1 = − 0 , 2461690038 … {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {2}{3}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}+\gamma _{1}=-0,5989062842\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-(\ln 2)^{2}-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2+{\frac {3\pi {\sqrt {3}}}{2}}\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\\[5mm]\displaystyle \qquad \qquad \quad -{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\left\{3\ln 3+11\ln 2+{\frac {15}{2}}\ln \pi +3\gamma \right\}+\gamma _{1}=-10,74258252\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {5}{6}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-(\ln 2)^{2}-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2-{\frac {3\pi {\sqrt {3}}}{2}}\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\\[6mm]\displaystyle \qquad \qquad \quad +{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\left\{3\ln 3+11\ln 2+{\frac {15}{2}}\ln \pi +3\gamma \right\}+\gamma _{1}=-0,2461690038\ldots \end{array}}} Questi valori sono stati calcolati da Blagouchine.[ 29] Sono dovute allo stesso autore anche le seguenti identità
γ 1 ( 1 5 ) = γ 1 + 5 2 { ζ ″ ( 0 , 1 5 ) + ζ ″ ( 0 , 4 5 ) } + π 10 + 2 5 2 ln Γ ( 1 5 ) + π 10 − 2 5 2 ln Γ ( 2 5 ) + { 5 2 ln 2 − 5 2 ln ( 1 + 5 ) − 5 4 ln 5 − π 25 + 10 5 10 } ⋅ γ − 5 2 { ln 2 + ln 5 + ln π + π 25 − 10 5 10 } ⋅ ln ( 1 + 5 ) + 5 2 ( ln 2 ) 2 + 5 ( 1 − 5 ) 8 ( ln 5 ) 2 + 3 5 4 ln 2 ⋅ ln 5 + 5 2 ln 2 ⋅ ln π + 5 4 ln 5 ⋅ ln π − π ( 2 25 + 10 5 + 5 25 + 2 5 ) 20 ln 2 − π ( 4 25 + 10 5 − 5 5 + 2 5 ) 40 ln 5 − π ( 5 5 + 2 5 + 25 + 10 5 ) 10 ln π = − 8 , 030205511 … γ 1 ( 1 8 ) = γ 1 + 2 { ζ ″ ( 0 , 1 8 ) + ζ ″ ( 0 , 7 8 ) } + 2 π 2 ln Γ ( 1 8 ) − π 2 ( 1 − 2 ) ln Γ ( 1 4 ) − { 1 + 2 2 π + 4 ln 2 + 2 ln ( 1 + 2 ) } ⋅ γ − 1 2 ( π + 8 ln 2 + 2 ln π ) ⋅ ln ( 1 + 2 ) − 7 ( 4 − 2 ) 4 ( ln 2 ) 2 + 1 2 ln 2 ⋅ ln π − π ( 10 + 11 2 ) 4 ln 2 − π ( 3 + 2 2 ) 2 ln π = − 16 , 64171976 … γ 1 ( 1 12 ) = γ 1 + 3 { ζ ″ ( 0 , 1 12 ) + ζ ″ ( 0 , 11 12 ) } + 4 π ln Γ ( 1 4 ) + 3 π 3 ln Γ ( 1 3 ) − { 2 + 3 2 π + 3 2 ln 3 − 3 ( 1 − 3 ) ln 2 + 2 3 ln ( 1 + 3 ) } ⋅ γ − 2 3 ( 3 ln 2 + ln 3 + ln π ) ⋅ ln ( 1 + 3 ) − 7 − 6 3 2 ( ln 2 ) 2 − 3 4 ( ln 3 ) 2 + 3 3 ( 1 − 3 ) 2 ln 3 ⋅ ln 2 + 3 ln 2 ⋅ ln π − π ( 17 + 8 3 ) 2 3 ln 2 + π ( 1 − 3 ) 3 4 ln 3 − π 3 ( 2 + 3 ) ln π = − 29 , 84287823 … {\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{5}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{5}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {4}{5}}\right)\right\}+{\frac {\pi {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{5}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {\pi {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {2}{5}}{\biggr )}+\left\{{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln {2}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln {\big (}1+{\sqrt {5}}{\big )}-{\frac {5}{4}}\ln 5-{\frac {\pi {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{10}}\right\}\cdot \gamma \\[5mm]&\displaystyle -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left\{\ln 2+\ln 5+\ln \pi +{\frac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{10}}\right\}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {5}})+{\frac {\sqrt {5}}{2}}(\ln 2)^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}{\big (}1-{\sqrt {5}}{\big )}}{8}}(\ln 5)^{2}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {5}}}{4}}\ln 2\cdot \ln 5+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln 2\cdot \ln \pi +{\frac {\sqrt {5}}{4}}\ln 5\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}2{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}+5{\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{\big )}}{20}}\ln 2\\[5mm]&\displaystyle -{\frac {\pi {\big (}4{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{\big )}}{40}}\ln 5-{\frac {\pi {\big (}5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{\big )}}{10}}\ln \pi \\[5mm]&\displaystyle =-8,030205511\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{8}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\sqrt {2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{8}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {7}{8}}\right)\right\}+2\pi {\sqrt {2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{8}}{\biggr )}-\pi {\sqrt {2}}{\big (}1-{\sqrt {2}}{\big )}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle -\left\{{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi +4\ln {2}+{\sqrt {2}}\ln {\big (}1+{\sqrt {2}}{\big )}\right\}\cdot \gamma -{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}\pi +8\ln 2+2\ln \pi {\big )}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {2}})\\[5mm]&\displaystyle -{\frac {7{\big (}4-{\sqrt {2}}{\big )}}{4}}(\ln 2)^{2}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln 2\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}10+11{\sqrt {2}}{\big )}}{4}}\ln 2-{\frac {\pi {\big (}3+2{\sqrt {2}}{\big )}}{2}}\ln \pi \\[5mm]&\displaystyle =-16,64171976\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{12}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\sqrt {3}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{12}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {11}{12}}\right)\right\}+4\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}+3\pi {\sqrt {3}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle -\left\{{\frac {2+{\sqrt {3}}}{2}}\pi +{\frac {3}{2}}\ln 3-{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {3}})\ln {2}+2{\sqrt {3}}\ln {\big (}1+{\sqrt {3}}{\big )}\right\}\cdot \gamma \\[5mm]&\displaystyle -2{\sqrt {3}}{\big (}3\ln 2+\ln 3+\ln \pi {\big )}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {3}})-{\frac {7-6{\sqrt {3}}}{2}}(\ln 2)^{2}-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {3}})}{2}}\ln 3\cdot \ln 2+{\sqrt {3}}\ln 2\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}17+8{\sqrt {3}}{\big )}}{2{\sqrt {3}}}}\ln 2\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {\pi {\big (}1-{\sqrt {3}}{\big )}{\sqrt {3}}}{4}}\ln 3-\pi {\sqrt {3}}(2+{\sqrt {3}})\ln \pi =-29,84287823\ldots \end{array}}} La seconda costante di Stieltjes generalizzata è molto meno studiata della prima. Similmente alla prima, si possono calcolare i valori di γ 2 ( a ) {\displaystyle \gamma _{2}(a)} con a {\displaystyle a} razionale e r = 1 , 2 , 3 , … , m − 1 , {\displaystyle r=1,2,3,\ldots ,m-1,} attraverso la seguente formula[ 5]
γ 2 ( r m ) = γ 2 + 2 3 ∑ l = 1 m − 1 cos 2 π r l m ⋅ ζ ‴ ( 0 , l m ) − 2 ( γ + ln 2 π m ) ∑ l = 1 m − 1 cos 2 π r l m ⋅ ζ ″ ( 0 , l m ) + π ∑ l = 1 m − 1 sin 2 π r l m ⋅ ζ ″ ( 0 , l m ) − 2 π ( γ + ln 2 π m ) ∑ l = 1 m − 1 sin 2 π r l m ⋅ ln Γ ( l m ) − 2 γ 1 ln m − γ 3 − [ ( γ + ln 2 π m ) 2 − π 2 12 ] ⋅ Ψ ( r m ) + π 3 12 cot π r m − γ 2 ln ( 4 π 2 m 3 ) + π 2 12 ( γ + ln m ) − γ ( ( ln 2 π ) 2 + 4 ln m ⋅ ln 2 π + 2 ( ln m ) 2 ) − { ( ln 2 π ) 2 + 2 ln 2 π ⋅ ln m + 2 3 ( ln m ) 2 } ln m . {\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle \gamma _{2}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}=\gamma _{2}+{\frac {2}{3}}\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta '''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)-2(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)\\[6mm]\displaystyle \quad +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)-2\pi (\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}-2\gamma _{1}\ln {m}\\[6mm]\displaystyle \quad -\gamma ^{3}-\left[(\gamma +\ln 2\pi m)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]\cdot \Psi {\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}+{\frac {\pi ^{3}}{12}}\cot {\frac {\pi r}{m}}-\gamma ^{2}\ln {\big (}4\pi ^{2}m^{3}{\big )}+{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\gamma +\ln {m})\\[6mm]\displaystyle \quad -\gamma {\big (}(\ln 2\pi )^{2}+4\ln m\cdot \ln 2\pi +2(\ln m)^{2}{\big )}-\left\{(\ln 2\pi )^{2}+2\ln 2\pi \cdot \ln m+{\frac {2}{3}}(\ln m)^{2}\right\}\ln m.\end{array}}} Un risultato equivalente fu ottenuto successivamente da Coffey per mezzo di un altro metodo.[ 32]
^ a b c Marc-Antoine Coppo. Nouvelles expressions des constantes de Stieltjes . Expositiones Mathematicae, vol. 17, pp. 349-358, 1999. ^ a b Mark W. Coffey. Series representations for the Stieltjes constants , arXiv:0905.1111 ^ a b (EN ) Mark W. Coffey, Addison-type series representation for the Stieltjes constants , in Journal of Number Theory , vol. 130, n. 9, 1º settembre 2010, pp. 2049–2064, DOI :10.1016/j.jnt.2010.01.003 . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ Junesang Choi. Certain integral representations of Stieltjes constants , Journal of Inequalities and Applications, 2013:532, pp. 1-10 ^ a b c d e f g h (EN ) Iaroslav V. Blagouchine, A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations , in Journal of Number Theory , vol. 148, 1º marzo 2015, pp. 537–592, DOI :10.1016/j.jnt.2014.08.009 . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ Iaroslav V. Blagouchine, A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations , in Journal of Number Theory , vol. 151, 2015-06, pp. 276–277, DOI :10.1016/J.JNT.2015.01.001 . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ a b c d e f g (EN ) Iaroslav V. Blagouchine, Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π−2 and into the formal enveloping series with rational coefficients only , in Journal of Number Theory , vol. 158, 1º gennaio 2016, pp. 365–396, DOI :10.1016/j.jnt.2015.06.012 . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ Iaroslav V. Blagouchine, Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in $\pi^{-2}$ and into the formal enveloping series with rational coefficients only , in Journal of Number Theory , vol. 173, 2017-04, pp. 631–632, DOI :10.1016/J.JNT.2016.11.002 . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ (EN ) calculus - A couple of definite integrals related to Stieltjes constants , su Mathematics Stack Exchange . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ G. H. Hardy. Note on Dr. Vacca's series for γ , Q. J. Pure Appl. Math. 43, pp. 215–216, 2012. ^ a b M. I. Israilov. On the Laurent decomposition of Riemann's zeta function [in Russian] . Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk. SSSR, vol. 158, pp. 98-103, 1981. ^ Donal F. Connon, Some applications of the Stieltjes constants , in arXiv:0901.2083 [math] , 14 gennaio 2009. URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ (EN ) Eric W. Weisstein, Logarithmic Number , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ (EN ) calculus - A closed form of the series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^2-(\gamma + \ln n)^2}{n}$ , su Mathematics Stack Exchange . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ Bruce C. Berndt. On the Hurwitz Zeta-function . Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 2, no. 1, pp. 151-157, 1972. ^ A. F. Lavrik. On the main term of the divisor's problem and the power series of the Riemann's zeta function in a neighbourhood of its pole (in Russian).Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk. SSSR, vol. 142, pp. 165-173, 1976. ^ Z. Nan-You and K. S. Williams. Some results on the generalized Stieltjes constants . Analysis, vol. 14, pp. 147-162, 1994. ^ Y. Matsuoka. Generalized Euler constants associated with the Riemann zeta function . Number Theory and Combinatorics: Japan 1984, World Scientific, Singapore, pp. 279-295, 1985 ^ Y. Matsuoka. On the power series coefficients of the Riemann zeta function . Tokyo Journal of Mathematics, vol. 12, no. 1, pp. 49-58, 1989. ^ a b c Charles Knessl e Mark W. Coffey. An effective asymptotic formula for the Stieltjes constants . Math. Comp., vol. 80, no. 273, pp. 379-386, 2011. ^ Lazhar Fekih-Ahmed, A New Effective Asymptotic Formula for the Stieltjes Constants , in arXiv:1407.5567 [math] , 28 dicembre 2014. URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ J.B. Keiper. Power series expansions of Riemann ζ-function . Math. Comp., vol. 58, no. 198, pp. 765-773, 1992. ^ Rick Kreminski. Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes generalized Euler constants . Math. Comp., vol. 72, no. 243, pp. 1379-1397, 2003. ^ Simon Plouffe. Stieltjes Constants, from 0 to 78, 256 digits each ^ Fredrik Johansson. Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives , arXiv:1309.2877 ^ LMFDB - Stieltjes Constants , su beta.lmfdb.org . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ a b (EN ) real analysis - Integral $ \int_0^1 \frac{\ln \ln (1/x)}{1+x^{2p}} dx$...Definite Integral , su Mathematics Stack Exchange . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ Donal F. Connon, New proofs of the duplication and multiplication formulae for the gamma and the Barnes double gamma functions , in arXiv:0903.4539 [math] , 26 marzo 2009. URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ a b c d (EN ) Iaroslav V. Blagouchine, Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results , in The Ramanujan Journal , vol. 35, n. 1, 1º ottobre 2014, pp. 21–110, DOI :10.1007/s11139-013-9528-5 . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ V. Adamchik. A class of logarithmic integrals. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 1-8, 1997. ^ (EN ) calculus - Evaluating $\int_0^1 \log \log \left(\frac{1}{x}\right) \frac{dx}{1+x^2}$ , su Mathematics Stack Exchange . URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ a b Mark W. Coffey, Functional equations for the Stieltjes constants , in arXiv:1402.3746 [math] , 16 maggio 2014. URL consultato il 13 settembre 2022 . ^ Donal F. Connon, The difference between two Stieltjes constants , in arXiv:0906.0277 [math] , 1º giugno 2009. URL consultato il 13 settembre 2022 .