La funzione di Cantor In teoria della probabilità la distribuzione di Cantor è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione è la funzione di Cantor . Essa è una distribuzione singolare , o continua singolare: non è né assolutamente continua né discreta .
Se consideriamo la costruzione dell'insieme di Cantor , riassunta nell'immagine sotto:
C 0 = [ 0 , 1 ] {\displaystyle C_{0}=[0,1]} C 1 = [ 0 , 1 / 3 ] ⋃ [ 2 / 3 , 1 ] {\displaystyle C_{1}=[0,1/3]\bigcup [2/3,1]} C 2 = [ 0 , 1 / 9 ] ⋃ [ 2 / 9 , 1 / 3 ] ⋃ [ 2 / 3 , 7 / 9 ] ⋃ [ 8 / 9 , 1 ] {\displaystyle C_{2}=[0,1/9]\bigcup [2/9,1/3]\bigcup [2/3,7/9]\bigcup [8/9,1]} C 3 = [ 0 , 1 / 27 ] ⋃ [ 2 / 27 , 1 / 9 ] ⋃ [ 2 / 9 , 7 / 27 ] ⋃ [ 8 / 27 , 1 / 3 ] {\displaystyle C_{3}=[0,1/27]\bigcup [2/27,1/9]\bigcup [2/9,7/27]\bigcup [8/27,1/3]} ⋃ [ 2 / 3 , 19 / 27 ] ⋃ [ 20 / 27 , 7 / 9 ] ⋃ [ 8 / 9 , 25 / 27 ] ⋃ [ 26 / 27 , 1 ] {\displaystyle \bigcup [2/3,19/27]\bigcup [20/27,7/9]\bigcup [8/9,25/27]\bigcup [26/27,1]} ⋮ {\displaystyle \vdots }
abbiamo che una variabile casuale con la distribuzione di Cantor è l'unica tale che, per ogni n {\displaystyle n} , essa è distribuita uniformemente sul singolo insieme C n {\displaystyle C_{n}} , cioè su ogni riga dell'immagine sotto la probabilità di un singolo intervallino è 1 / 2 n {\displaystyle 1/2^{n}} .
E ( X ) = 1 2 {\displaystyle E(X)={1 \over 2}} La varianza si ottiene dalla legge della varianza totale : se consideriamo Y come l'indicatore dell'evento "esce testa in un lancio di moneta"
var ( X ) = E ( var ( X ∣ Y ) ) + var ( E ( X ∣ Y ) ) {\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))} = 1 9 var ( X ) + var { P ( 1 / 6 ) = 1 / 2 P ( 5 / 6 ) = 1 / 2 } = 1 9 var ( X ) + 1 9 . {\displaystyle ={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}P(1/6)=1/2\\P(5/6)=1/2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}.} Da cui otteniamo
var ( X ) = 1 8 {\displaystyle \operatorname {var} (X)={1 \over 8}}