Distribuzione di Spearman

In teoria della probabilità la distribuzione di Spearman è la distribuzione di probabilità discreta, utilizzata nell'ambito della statistica non parametrica, della variabile casuale (coefficiente di correlazione per ranghi di Spearman) per verificare l'ipotesi nulla che non vi è correlazione tra due variabili quantitative o qualitative ordinali. Fu ideata da Charles Spearman nel 1904.

Costruzione delle probabilità esatte

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Può essere costruita costruendo tutti i casi in cui la prima variabile già ordinata (pertanto ha i ranghi ri=i) e la seconda assuma uno dei possibili ordini. Per ciascuno dei casi viene calcolato il valore ρs e si costruisce la tabella delle probabilità di ciascuno dei valori possibili.

Esempio con N=4

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Le 24 possibili osservazioni

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Nel caso di N=4 osservazioni, assumendo che per la prima variabile vale sempre ri=i, si possono calcolare i vari ρs

 ΣD² ρ 1 2 3 4 0 1 1 2 4 3 2 0,8 1 3 2 4 2 0,8 1 3 4 2 6 0,4 1 4 2 3 6 0,4 1 4 3 2 8 0,2 2 1 3 4 2 0,8 2 1 4 3 4 0,6 2 3 1 4 6 0,4 2 3 4 1  12 -0,2 2 4 1 3  10 0 2 4 3 1  14 -0,4 3 1 2 4 6 0,4 3 1 4 2  10 0 3 2 1 4 8 0,2 3 2 4 1  14 -0,4 3 4 1 2  16 -0,6 3 4 2 1  18 -0,8 4 1 2 3  12 -0,2 4 1 3 2  14 -0,4 4 2 1 3  14 -0,4 4 2 3 1  18 -0,8 4 3 1 2  18 -0,8 4 3 2 1  20 -1 

Distribuzione delle probabilità per il test a una coda

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I ρ risultano così distribuiti

ρ  n  % -1  1 4,17 -0,8 3  12,50 -0,6 1 4,17 -0,4 4  16,67 -0,2 2 8,33 0  2 8,33 0,2 2 8,33 0,4 4  16,67 0,6 1 4,17 0,8 3  12,50 1  1 4,17 

Distribuzione delle probabilità per il test a due code

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Nel caso si volesse fare il test ad una sola coda, si calcolano le probabilità effettuando prima i valori assoluti di ρ

|ρ| n  % 0  2 8,33 0,2 4  16,67 0,4 8  33,33 0,6 2 8,33 0,8 6  25,00 1  2 8,33 

Approssimazioni per N grandi

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Per N grandi, la trasformazione

è distribuita approssimativamente come una variabile casuale t di Student con N-2 gradi di libertà

e

è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale

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