Filtrazione (matematica)

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

Nella teoria delle probabilità una filtrazione, o base stocastica, su uno spazio ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ è una famiglia crescente ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}$ di sottotribù di ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, con ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R_{+}} }$. Intuitivamente ogni ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ rappresenta l'informazione disponibile all'istante ${\displaystyle t\in I}$, ossia tutti gli eventi per i quali si può sapere che si siano verificati oppure no.

Una filtrazione si dice completa se e solo se appartiene ad uno spazio di probabilità completo e per ogni ${\displaystyle t\in I}$ la ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ contiene tutti gli eventi di ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ di probabilità nulla. Dato che lo spazio di probabilità è completo i sottoinsiemi degli eventi di probabilità nulla sono a loro volta degli eventi contenuti in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Una filtrazione si dice continua a destra se e solo se ${\displaystyle \forall {t\in I},{\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}}$, con ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t+}=\bigcap _{u>t}^{\sup {I}}{\mathcal {F_{u}}}}$. In base alla definizione si può vedere in modo intuitivo che in una filtrazione continua a destra la ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t+}}$ contiene tutti gli eventi dei quali si può sapere la verificabilità o meno agli istanti di tempo successivi.

Una filtrazione si dice che soddisfa le ipotesi standard se e solo se è completa e continua a destra.

Uno spazio di probabilità ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ munito di una filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}$ è chiamato spazio di probabilità filtrato, o spazio filtrato e viene denotato con la quadrupla ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I},P)}$. Nel caso in cui lo spazio di probabilità sia munito di una filtrazione che soddisfa le ipotesi standard viene detto spazio filtrato standard.

Un processo stocastico ${\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}$si dice adattato alla filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}$ se ${\displaystyle \forall t\in I,X_{t}}$ è misurabile rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$. Quindi, per ogni ${\displaystyle t}$ appartenente all'insieme dei valori ${\displaystyle I}$ la variabile aleatoria ${\displaystyle X_{t}}$ deve essere misurabile rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$. In questo caso viene anche detto che ${\displaystyle X_{t}}$ è ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-misurabile, cioè la variabile aleatoria ${\displaystyle X_{t}}$ è definita sullo spazio ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)}$ con valori sullo spazio misurabile di arrivo${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$, ossia ${\displaystyle X_{t}}$ è un'applicazione tale che ${\displaystyle X_{t}:(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t})\longrightarrow (E,{\mathcal {E}})}$. Questo garantisce che per ogni valore ${\displaystyle \omega }$ di ${\displaystyle \Omega }$ appartenente alla filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$, la variabile aleatoria ${\displaystyle X_{t}}$, che prende come argomento ${\displaystyle \omega }$, è definita nell'insieme dei valori dato da ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Si ottiene, così, la seguente definizione: ${\displaystyle \{\omega \in {\mathcal {F_{t}}}:X_{t}(\omega )\in S\},\forall S\in {\mathcal {E}}}$.

La filtrazione naturale associata ad un processo stocastico ${\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}$ è definita come ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma (X_{s}:s\leqslant t)\forall {t\in I}}$ ed è la più piccola filtrazione che rende ${\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}$ adattato, in quanto ${\displaystyle \sigma (X_{s}:s\leqslant t)}$ è la più piccola tribù (o ${\displaystyle \sigma }$-algebra) generata da ${\displaystyle (X_{s})_{s\leqslant t}}$. La filtrazione naturale contiene la storia del processo ${\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}$ fino all'istante ${\displaystyle t}$.

Ponendo ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$, un processo stocastico ${\displaystyle (V_{n})_{n\geqslant 1}}$ si dice prevedibile rispetto alla filtrazione ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}}$ se e solo se per ogni ${\displaystyle n}$ maggiore o uguale di ${\displaystyle 1}$, la variabile aleatoria ${\displaystyle V_{n}}$è misurabile rispetto a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$.

Portale Matematica

Portale Statistica

Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica - Seconda Edizione, Milano, McGraw-Hill, 1998, ISBN 88-386-0737-0.

Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità, Milano, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6365-9.

Francesca Biagini, Massimo Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Milano, Springer, 2006, ISBN 88-470-0330-X.