Formula di Black

La formula di Black (cui spesso si fa riferimento come al modello di Black-76) è una formula per valutare il prezzo di strumenti derivati basata sul noto modello di Black e Scholes. Ampiamente utilizzata nella prassi dei mercati, in particolare per opzioni su futures e su obbligazioni, è stata introdotta da Fischer Black in un contributo del 1976.

Il principale problema della formula è la difficoltà con cui può essere adattata per prezzare strumenti il cui valore dipende dalla correlazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie.

La formula è simile alla formula di Black e Scholes per il prezzo di opzioni europee su azioni; la principale differenza è che il prezzo del sottostante è ora il prezzo di un contratto forward o di un futures.

Il prezzo di un'opzione call ${\displaystyle \ C}$, con prezzo d'esercizio ${\displaystyle \ K}$ e scadenza ${\displaystyle \ T}$, è dato da:

dove ${\displaystyle \ r}$ è il tasso d'interesse su base annua, supposto costante per tutta la durata del contratto, ${\displaystyle \ N(\cdot )}$ denota la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale standard, e

${\displaystyle \ d_{1}={\frac {\ln {\frac {F_{t}}{K}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}};\quad d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}}$

dove ${\displaystyle \ \sigma ^{2}}$ è la varianza istantanea percentuale del prezzo forward o future del sottostante. Per un'opzione put, l'espressione corrispondente è:

La derivazione del modello segue strettamente quella delle formule di Black e Scholes, cui si rinvia; l'ipotesi di log-normalità del processo del prezzo spot è in questo caso sostituita dall'ipotesi che sia il prezzo forward a seguire un processo lognormale.

L'approccio del cambiamento del numerario ha definitivamente mostrato la validità del risultato di Black, a lungo considerato soltanto un'approssimazione.

Il modello è utilizzato per il prezzaggio di opzioni su futures e swaption. È stato fatto osservare, d'altra parte, che il tasso swap, sottostante un swaption, è una media di tassi forward; appare dunque poco convincente utilizzare il modello di Black per prezzare opzioni su contratti futures (assumendo che il tasso forward abbia distribuzione lognormale) e swaption (assumendo che il tasso swap abbia distribuzione lognormale), dal momento che una media di variabili casuali lognormali non ha necessariamente distribuzione lognormale. In effetti ciò è verificato solamente nel caso in cui i tassi ricompresi nel tasso swap siano perfettamente correlati; fare tale ipotesi significherebbe sacrificare il realismo del modello (a beneficio, ad ogni modo, della sua trattabilità).

• (EN) F. Black, The Pricing of Commodity Contracts, in Journal of Financial Economics, n. 3, Elsevier, 1978, pp. 167-179.

• (EN) J.C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, Upper Saddle River, Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-022444-8. (il testo introduttivo alla teoria degli strumenti derivati di riferimento, di livello universitario pre-dottorato)
• J.C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, Milano, Il Sole 24Ore Libri, 2003, ISBN 88-8363-477-2. (edizione italiana del volume)

• Modello di Black-Scholes-Merton
• Formula di Black e Scholes
• Opzione call e put
• Matematica finanziaria

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