Un quadrilatero. In geometria , la formula di Bretschneider per il calcolo dell'area di un quadrilatero corrisponde alla seguente espressione:
A = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}} Dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero, p è il semiperimetro, α {\displaystyle \alpha } γ {\displaystyle \gamma }
La scoperta di tale formula si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider nel 1842. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia ciclico o meno.
Indichiamo con A l'area del quadrilatero. Allora abbiamo
A = Area ( A D B △ ) + Area ( B D C △ ) = = a d sin α 2 + b c sin γ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A&=\operatorname {Area} ({\stackrel {\vartriangle }{ADB}})+\operatorname {Area} ({\overset {\vartriangle }{BDC}})=\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}\end{aligned}}} Perciò
4 A 2 = ( a d ) 2 sin 2 α + ( b c ) 2 sin 2 γ + 2 a b c d sin α sin γ . {\displaystyle 4A^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,} Il teorema del coseno implica che
a 2 + d 2 − 2 a d cos α = b 2 + c 2 − 2 b c cos γ , {\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,} poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale BD . Ciò può essere riscritto nella forma
( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 cos 2 α + ( b c ) 2 cos 2 γ − 2 a b c d cos α cos γ . {\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .} Sostituendo questo nella formula di sopra per 4 A 2 {\displaystyle 4A^{2}}
4 A 2 + ( b 2 + c 2 − a 2 − d 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 + ( b c ) 2 − 2 a b c d cos ( α + γ ) . {\displaystyle 4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,} Questo può essere scritto come
16 A 2 = ( a + b + c − d ) ( a + b + d − c ) ( a + c + d − b ) ( b + c + d − a ) − 16 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle 16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).} Introducendo il semiperimetro
p = a + b + c + d 2 , {\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},} la formula sopra diventa
16 A 2 = 16 ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − 16 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle 16A^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)} da cui segue la formula di Bretschneider.
La formula di Bretschneider generalizza la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico , la quale a sua volta generalizza la formula di Erone per l'area di un triangolo . Si nota infatti che, per un quadrilatero ciclico, l'argomento del coseno è α + γ 2 = π 2 {\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}
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