Invariante dinamico

In meccanica razionale l'invariante dinamico è una grandezza scalare caratteristica dell'atto di moto di un corpo rigido, e vale:

${\displaystyle I_{D(t)}=\mathbf {R} _{(t)}\cdot \mathbf {M} _{(t)}}$

La sua invarianza deriva dalla relazione tra momento meccanico M e forza F risultanti su un corpo rigido, e dalle proprietà del prodotto misto:

${\displaystyle \mathbf {R} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'} +\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \times \mathbf {r} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'} }$,

Da questa dimostrazione si evince infatti come I_D sia unico per tutti i punti del corpo rigido, mentre non si mantiene generalmente costante durante il moto.

Quando l'invariante scalare è nullo il sistema dinamico è equivalente ad una forza pura, nel caso in cui il momento risultante sia nullo o i due vettori siano perpendicolari, o ad una pura coppia, nel caso in cui la forza risultante sia nulla.

Dati

${\displaystyle \mathbf {M} _{P}=\sum _{i=1}^{N}\left(A_{i}-P\right)\times \mathbf {u} _{i}}$

dove ${\displaystyle A_{i}}$ sono i punti di applicazione dei vettori ${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$, e

${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {u} _{i}}$

l'invariante scalare è definito come

${\displaystyle I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =M_{P}R\cos \theta }$

con ${\displaystyle M_{P}}$ modulo di ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}}$, ${\displaystyle R}$ modulo di ${\displaystyle \mathbf {R} }$ e θ valore dell'angolo compreso tra ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}}$ e ${\displaystyle \mathbf {R} }$.

Il termine invariante è dovuto al fatto che esso non dipende dal polo scelto, cioè

${\displaystyle I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} }$

con P e Q poli distinti.

Per la teoria di equivalenza il momento di un polo Q, dato ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}}$, vale

${\displaystyle \mathbf {M} _{Q}=\mathbf {M} _{P}+\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} }$

moltiplicando scalarmente per ${\displaystyle \mathbf {R} }$ entrambi i membri si ottiene

${\displaystyle \mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \cdot \mathbf {R} }$

sfruttando la proprietà ciclica del prodotto misto la relazione diventa

${\displaystyle \mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\cdot \mathbf {R} \times \mathbf {R} }$

ma

${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} =\mathbf {0} }$

perché ${\displaystyle \mathbf {R} }$ è parallelo a se stesso, e quindi

${\displaystyle \mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =I}$

Dal valore che l'invariante scalare assume è possibile ricavare l'asse centrale (luogo dei poli di momento minimo) del sistema di vettori o, in mancanza di esso, almeno un polo di momento minimo o nullo. Supponendo un sistema di vettori a risultante ${\displaystyle \mathbf {R} }$ non nullo, tale che R > 0, si possono ottenere i seguenti casi:

• ${\displaystyle I=0}$
  • ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}=\mathbf {0} }$ : allora P appartiene all'asse centrale, che è la retta passante per P parallela a ${\displaystyle \mathbf {R} }$
  • ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}\perp \mathbf {R} }$ : allora esiste un polo Q di momento nullo. Infatti:

${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {M} _{Q}=\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\mathbf {R} \times \left[\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \right]=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \Rightarrow \mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\left(P-Q\right)-\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0} }$

ma ${\displaystyle \left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0} }$, e quindi

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}}}$

• ${\displaystyle I\neq 0}$
  • ${\displaystyle I=M_{P}R\cos \theta }$ : allora il momento ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}}$ è minimo quando la risultante è parallela al momento stesso. Infatti:

${\displaystyle \Rightarrow M_{P}={\frac {I}{R\cos \theta }}={\frac {1}{R}}{\frac {\left|I\right|}{\left|\cos \theta \right|}}}$

${\displaystyle M_{P}}$ è minimo ${\displaystyle \Leftrightarrow \cos \theta =1\Leftrightarrow \theta _{1}=0,\theta _{2}=\pi \Leftrightarrow \mathbf {M} _{P}//\mathbf {R} }$

L'invariante scalare è indice della possibilità di ridurre il numero dei componenti di un dato sistema di vettori in una quantità minima di un sistema ad esso equivalente. Si presentano i seguenti casi:

• ${\displaystyle I=0}$
  • ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0} }$ : il sistema è equilibrato, ossia equivalente ad un vettore nullo applicato in un punto qualunque
  • ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} }$ : il sistema è equivalente ad una coppia di momento ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}}$
  • ${\displaystyle \mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0} }$ : il sistema è equivalente al vettore ${\displaystyle \mathbf {R} }$ applicato nel polo P appartenente all'asse centrale
  • ${\displaystyle \mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \Rightarrow \mathbf {R} \perp \mathbf {M} _{P}}$ : allora esiste un polo ${\displaystyle Q:\left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}},\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {0} }$ . Il sistema è equivalente al vettore ${\displaystyle \mathbf {R} }$ applicato in Q appartenente all'asse centrale
• ${\displaystyle I\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \ \forall \ P}$ : il sistema è equivalente al vettore ${\displaystyle \mathbf {R} }$ applicato nel polo P con una coppia di momento ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}}$

• Mauro Fabrizio, Elementi di meccanica classica, Bologna, Zanichelli, 2002

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