Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.
Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto
dotato di un'operazione binaria
![{\displaystyle (\cdot ):L\times L\longrightarrow L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e42c7c712aaeefa3ce96f213790d50f06c14d5c)
tale che:
- esiste un elemento
, detto neutro, tale che
per ogni
; - l'equazione
ha un'unica soluzione
.
Siano
un gruppo ed
un suo sottogruppo. Una sezione di
relativamente ad
è un'applicazione
![{\displaystyle \sigma :G/H\longrightarrow G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59b23d7d9f4d09da0b5768341c9b2b8a7d9d7dd)
dove
è la famiglia delle classi laterali sinistre di
modulo
, tale che:
è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
.
Inoltre l'immagine
della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di
. Va osservato che la 1. è quivalente alla condizione
![{\displaystyle \pi \circ \sigma (gH)=gH,\quad \forall g\in G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dee86e416c8c8e8ab4504a088ad7ba78674b1c1)
dove
è la proiezione canonica del gruppo
sul quoziente
.
Siano
un gruppo,
un sottogruppo di
e
una sezione di
, allora
è un left loop rispetto l'operazione
![{\displaystyle a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc446c664c67425a676e64dc67f73b778078431)
Dimostrazione
L'identità
sta in
poiché esso è un trasversale di
, dunque basta far vedere che l'equazione sinistra
![{\displaystyle a\cdot x=b,\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657947320f18b5aaf3c024855d70b6d5a85220a1)
ha un'unica soluzione in
L'elemento
è una soluzione di (1), poiché
![{\displaystyle a\cdot \sigma (a^{-1}bH)=\sigma (a\sigma (a^{-1}bH)H)=\sigma (aa^{-1}bH)=\sigma (bH)=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c5978b0dc8ebe99b1eee42826cd2e464f67579)
Supponiamo che
![{\displaystyle a\cdot x=a\cdot y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03510690d57fee9cfa1e3723e9b24325b63f002a)
per qualche
, allora
![{\displaystyle a\cdot x=a\cdot y\Leftrightarrow \sigma (a\cdot xH)=\sigma (a\cdot yH)\Rightarrow \sigma (a\cdot xH)H=\sigma (a\cdot yH)H\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376edbd8c77c7c4c0e2f35822bf95f19eb56f9a2)
![{\displaystyle \Rightarrow axH=ayH\Rightarrow xH=yH\Rightarrow x=y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a9cc4393bd565397a2b855c1dd9a15f425f341)
Siano
un gruppo,
un sottogruppo ed
una sezione con
. Il left-loop definito su
rispetto l'operazione
![{\displaystyle a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc446c664c67425a676e64dc67f73b778078431)
è un loop se e solo se
è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo
,
.