Lemma di Kac

In fisica matematica, nell'ambito della teoria ergodica, il lemma di Kac, dimostrato dal matematico Mark Kac nel 1947^[1], è un lemma che stabilisce che in uno spazio di misura l'orbita di quasi tutti i punti contenuti in un insieme ${\displaystyle A}$ di tale spazio, la cui misura è ${\displaystyle \mu (A)}$, ritornano in ${\displaystyle A}$ entro un tempo medio inversamente proporzionale a ${\displaystyle \mu (A)}$.^[2]

Il lemma estende quanto affermato dal teorema di ricorrenza di Poincaré, in cui si dimostra che i punti ritornano in ${\displaystyle A}$ infinite volte.^[3]

Poiché lo spazio delle fasi di un sistema dinamico a ${\displaystyle n}$ variabili e limitato, ossia con le ${\displaystyle n}$ variabili che hanno tutte un minimo e un massimo, è, per il teorema di Liouville, uno spazio di misura, il lemma implica che data una configurazione del sistema (punto dello spazio) il tempo di ritorno medio vicino a tale configurazione (in un intorno del punto) è inversamente proporzionale alla grandezza in volume dell'intorno considerato.

Normalizzando a 1 la misura complessiva dello spazio, esso diventa uno spazio di probabilità e la misura ${\displaystyle P(A)}$ di un suo insieme ${\displaystyle A}$ rappresenta la probabilità di trovare il sistema negli stati rappresentati dai punti di tale insieme. In questo caso il lemma implica che quanto più piccola è la probabilità di trovarsi in un certo stato (o intorno di esso), tanto più lungo è il tempo di ritorno vicino a tale stato.^[4]

In formule, se ${\displaystyle A}$ è la regione intorno al punto iniziale e ${\displaystyle T_{R}}$ il tempo di ritorno, il suo valore medio è:

${\displaystyle \langle T_{R}\rangle =\tau /P(A)}$

Dove ${\displaystyle \tau }$ è un tempo caratteristico del sistema considerato.

Si noti che poiché il volume di ${\displaystyle A}$, quindi ${\displaystyle P(A)}$, dipende esponenzialmente dal numero di variabili del sistema (${\displaystyle A=\epsilon ^{n}}$, con ${\displaystyle \epsilon }$ lato infinitesimo, quindi minore di 1, del volume in ${\displaystyle n}$ dimensioni),^[5] ${\displaystyle P(A)}$ decresce esponenzialmente all'aumentare delle variabili in gioco nel sistema e di conseguenza cresce esponenzialmente il tempo di ritorno.^[6]

In pratica, all'aumentare delle variabili necessarie per descrivere il sistema, il tempo di ritorno cresce rapidamente.^[7]

Intuitivamente è abbastanza ovvio comprendere che se le configurazioni possibili sono di numero finito prima o poi si ripeteranno. Altrettanto intuitivo è che le configurazioni più probabili si ripeteranno più frequentemente.

• (EN) Mark Kac, On the notion of recurrence in discrete stochastic processes (PDF), in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53, n. 10, 1947, pp. 1002-1010.
• (EN) MAGIC: 10 lectures course on ergodic theory - Lecture 5, su personalpages.manchester.ac.uk. URL consultato il 24 marzo 2020.

• Mark Kac
• Teorema di Birkhoff
• Teorema di ricorrenza
• Teoria ergodica

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