Linea di trasmissione

La linea di trasmissione è costituita generalmente da un cavo o da una struttura atta a trasportare segnali (nel campo dell'elettronica) o energia^[3] (nel campo dell'elettrotecnica) per grandi distanze; nel caso di trasmissione di energia elettrica, le linee sono esercite ad alta tensione^[3].

Per esempio, le linee di trasmissione sono molto importanti nel campo della microelettronica, in particolare nella progettazione dell'hardware in informatica, e, in generale, tutte le volte in cui ci sono componenti che operano in alta frequenza, connessi tra loro, e che ricevono energia da un generatore mediante conduttori di dimensioni non trascurabili rispetto alle lunghezze d'onda in gioco. Infatti, in alcuni casi, nello studio di un circuito e nell'analisi di uno schema elettrico si applica l'approssimazione di considerare solo i generatori e i componenti, trascurando completamente i conduttori che ne garantiscono il collegamento, mentre, invece, la presenza di tali conduttori può avere degli effetti non trascurabili e, in tal caso, tale approssimazione non è più valida.

Nel modello più generale una linea di trasmissione può essere schematizzata come due conduttori paralleli che connettono un generatore ${\displaystyle V(x,t)}$ ed un carico elettrico. In figura è mostrato un modello generale della linea di trasmissione: essa è un tipico elemento a costanti distribuite, perciò si considerano tutti gli elementi per unità di lunghezza, cioè considereremo la lunghezza tra i punti ${\displaystyle A,A'}$ e i punti ${\displaystyle B,B'}$ una lunghezza ${\displaystyle dx}$. Come si vede dalla figura bisogna tenere in considerazione diversi elementi: intanto i due conduttori paralleli hanno una loro resistenza ${\displaystyle R_{A}}$ ed ${\displaystyle R_{B}}$ ed una loro induttanza ${\displaystyle L_{A}}$ ed ${\displaystyle L_{B}}$ che sono responsabili di cadute di potenziale sulla linea. Poi bisogna tenere presente della conduttanza ${\displaystyle G}$ e della capacità ${\displaystyle C}$ tra i due conduttori. Tutti questi elementi, normalmente, sono forniti per unità di lunghezza, cioè ad esempio:

${\displaystyle R_{A}^{T}=R_{A}dx}$

dove ${\displaystyle R_{A}^{T}}$ è la resistenza totale nel tratto ${\displaystyle dx}$.

La linea di trasmissione rappresenta un valido modello teorico di propagazione del segnale elettrico a cui possono essere ricondotte anche alcune strutture di guida d'onda come il cavo coassiale.

Nel modello della linea di trasmissione vi sono cadute di tensione tra ${\displaystyle A,A'}$ e tra ${\displaystyle B,B'}$, dovute alle resistenze ed alle induttanze, che sono quantificabili sempre nel tratto ${\displaystyle x,x+dx}$ come:

${\displaystyle dV_{A}=V_{A'}(x+dx,t)-V_{A}(x,t)=-R_{A}^{T}\cdot I(x,t)-L_{A}^{T}{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}}$

${\displaystyle dV_{B}=V_{B'}(x+dx,t)-V_{B}(x,t)=R_{B}^{T}\cdot I(x,t)+L_{B}^{T}{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}}$

per cui la variazione di tensione nel tratto ${\displaystyle x,x+dx}$ è:

${\displaystyle V(x+dx)-V(x)=\left[V_{A'}(x+dx,t)-V_{B'}(x+dx,t)\right]-\left[V_{A}(x,t)-V_{B}(x,t)\right]=dV_{A}-dV_{B}=-(R_{A}^{T}+R_{B}^{T})I(x,t)-(L_{A}^{T}+L_{B}^{T}){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}=}$

${\displaystyle =-(R_{A}+R_{B})dx\cdot I(x,t)-(L_{A}+L_{B})dx\cdot {\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}=-Rdx\cdot I(x,t)-Ldx\cdot {\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}}$

dove ${\displaystyle R=R_{A}+R_{B}}$ ed ${\displaystyle L=L_{A}+L_{B}}$. In definitiva, differenziando (in ${\displaystyle dx}$):

${\displaystyle {\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-RI(x,t)-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}}$

si nota che la variazione della tensione dovuta al termine resistivo è lineare e decrescente, mentre la variazione della tensione per il termine induttivo dipende dal segno della derivata della corrente, quindi può essere decrescente o crescente.

Per quanto riguarda le perdite di corrente vediamo che sono attribuibili alla presenza di una conduzione (G, conduttanza elettrica è l'inverso della resistenza elettrica) e di una capacità (C) tra i due conduttori della linea. Nel tratto ${\displaystyle x,x+dx}$:

${\displaystyle \ dI_{(G)}(x,t)=-G^{T}V(x,t)}$

${\displaystyle \ dI_{(C)}(x,t)=-C^{T}{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}}$

per cui la variazione di corrente dipende dal segno di ${\displaystyle V(x,t)}$ come si vede in figura: ${\displaystyle V_{A}>V_{B}}$ quindi la corrente fluisce da ${\displaystyle A}$ verso ${\displaystyle A'}$, viceversa fluisce una corrente opposta da ${\displaystyle B'}$ a ${\displaystyle B}$. Dunque la perdita di corrente, differenziando, è:

${\displaystyle {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-GV(x,t)-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}}$

Le equazioni generali della linea di trasmissione, note come equazioni dei telegrafisti, sono:^[4]

(1)${\displaystyle \ {\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-RI(x,t)-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}}$

(2)${\displaystyle \ {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-GV(x,t)-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}}$

dove, come detto, R, G, L, e C sono considerate per unità di lunghezza. Imponendo le opportune condizioni al contorno per queste due equazioni si hanno le soluzioni generali.

Il caso di linea non dissipativa implica che ${\displaystyle R=0,G=0}$ e le equazioni (1) e (2) si riducono a:

(5)${\displaystyle \ {\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}}$

(6)${\displaystyle \ {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}}$

derivando la (5) rispetto a x e la (6) rispetto a t:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}=-L{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}=-C{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}}$

che uguagliando danno:

(7)${\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}-LC{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}=0}$

e analogamente derivando la (5) rispetto a t e la (6) rispetto a x:

(8)${\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x^{2}}}-LC{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial t^{2}}}=0}$

Le equazioni (7) e (8) sono due tipiche equazioni delle onde unidimensionali, le cui soluzioni sono onde che si propagano con velocità costante pari a:

(9)${\displaystyle \ v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$ .

In generale, per un'onda elettromagnetica all'interno di un mezzo non dissipativo, si ha che:

(10)${\displaystyle \ v={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}$

che prende il nome di velocità di fase, ${\displaystyle \mu }$ è la permeabilità magnetica e ${\displaystyle \varepsilon }$ è la costante dielettrica del mezzo e quindi, confrontando la (9) e la (10):

(11)${\displaystyle \ LC=\mu \varepsilon }$

La soluzione generale delle (5) e (6) è del tipo:^[4]

(12)${\displaystyle \ V(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)}$

(13)${\displaystyle \ I(x,t)={\frac {1}{R_{0}}}[f(x-vt)-g(x+vt)]}$

cioè in generale possono coesistere onde di tensione e di corrente sia progressive che regressive, è chiaro che la soluzione esplicita dipende dalla forma della tensione d'ingresso ${\displaystyle V(x,t)}$. Si può ricavare l'espressione esplicita della costante ${\displaystyle R_{0}}$ per confronto delle due soluzioni:

(14)${\displaystyle \ R_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

che si chiama impedenza caratteristica della linea.

Da notare che le soluzioni sono quelle senza dissipazione e i campi sono di tipo TEM (trasversi elettromagnetici).

Vediamo il caso notevole di generatore di onda sinusoidale. In tal caso, anche la tensione e la corrente in un generico punto x della linea hanno andamento sinusoidale e, applicando il metodo simbolico, scriviamo:

${\displaystyle \mathbf {V} (x,t)=\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}\ \ \ }$ con ${\displaystyle \ \ \ V(x,t)=Re[\mathbf {V} (x,t)]}$

${\displaystyle \ \mathbf {I} (x,t)\ =\ \mathbf {I} (x)e^{j\omega t}\ \ \ }$ con ${\displaystyle \ \ \ \ I(x,t)=Re[\mathbf {I} (x,t)]}$

dove j è l'unità immaginaria e ${\displaystyle \omega }$ è la frequenza angolare o pulsazione, tenendo presente che

• ha significato fisico solo la parte reale delle grandezze complesse così introdotte,
• eventuali fasi iniziali e, in generale, termini additivi costanti presenti all'esponente di ciascun esponenziale complesso vengono inclusi nei termini complessi ${\displaystyle \mathbf {V} (x)}$ e ${\displaystyle \mathbf {I} (x)}$.

È possibile, allora, provare che dalle equazioni (1) e (2) si ottiene:^[4][5]

(15) ${\displaystyle \ {\frac {d^{2}\mathbf {V} (x)}{dx^{2}}}-\gamma ^{2}\mathbf {V} (x)=0}$

(16) ${\displaystyle \ {\frac {d^{2}\mathbf {I} (x)}{dx^{2}}}-\gamma ^{2}\mathbf {I} (x)=0}$

dove

(17)${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ={\sqrt {\mathbf {Z} \mathbf {Y} }}={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}\\[6pt]={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+j\omega \left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)+{\frac {RG}{LC}}}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

è la cosiddetta costante di propagazione e dove ${\displaystyle \mathbf {Z} =R+j\omega L}$ ed ${\displaystyle \mathbf {Y} =G+j\omega C}$ sono, rispettivamente, l'impedenza per unità di lunghezza e l'ammettenza per unità di lunghezza della linea.

La soluzione generale di queste equazioni (15) e (16) è:

(20)${\displaystyle \ \mathbf {V} (x)=\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}+\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}=\mathbf {V_{1}} e^{-\alpha x}e^{-j\beta x}+\mathbf {V_{2}} e^{\alpha x}e^{j\beta x}}$

(21)${\displaystyle \ \ \mathbf {I} (x)={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}]={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{1}} e^{-\alpha x}e^{-j\beta x}-\mathbf {V_{2}} e^{\alpha x}e^{j\beta x}]}$

dove

${\displaystyle \ \mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}}$ è un numero complesso che, come vedremo nel prossimo paragrafo, nel caso di linee non dissipative si riduce all'impedenza caratteristica ${\displaystyle R_{0}}$

e dove

${\displaystyle \ \gamma =\alpha +j\beta }$ in modo che ${\displaystyle \alpha }$ rappresenti la costante di attenuazione dell'onda e ${\displaystyle \beta }$ rappresenti la phase-shift cioè la costante di fase.

Supponendo ${\displaystyle \mathbf {V_{1}} =V_{1}e^{j\phi _{1}}}$, ${\displaystyle \mathbf {V_{2}} =V_{2}e^{j\phi _{2}}}$, ${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} =Z_{0}e^{j\varphi }}$ ed esplicitando per avere la soluzione reale, otteniamo:^[4]

(22)${\displaystyle {\begin{aligned}Re[\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}]=\\[6pt]V(x,t)=V_{1}e^{-\alpha x}\cos(\omega t-\beta x+\phi _{1})+V_{2}e^{\alpha x}\cos(\omega t+\beta x+\phi _{2})\\[6pt]\end{aligned}}}$

e analogamente:

(23)${\displaystyle {\begin{aligned}Re[\mathbf {I} (x)e^{j\omega t}]=\\[6pt]I(x,t)={\frac {V_{1}}{Z_{0}}}e^{-\alpha x}\cos(\omega t-\beta x+\phi _{1}-\varphi )-{\frac {V_{2}}{Z_{0}}}e^{\alpha x}\cos(\omega t+\beta x+\phi _{2}-\varphi )\\[6pt]\end{aligned}}}$

per l'onda di corrente, dove sussiste anche la fase ${\displaystyle \varphi }$ dovuta alla presenza di ${\displaystyle Z_{0}}$. Dalla (22) si vede bene che, nel caso più generale, coesistono due onde di tensione, una progressiva e una regressiva, la cui ampiezza si attenua esponenzialmente (per le dissipazioni) come ${\displaystyle \alpha }$ (analogamente, come si vede dalla (23), coesistono due onde di corrente). La velocità di propagazione è la velocità di fase ed è data da:^[4][5]

(24)${\displaystyle \ v={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{\beta }}}$

con lunghezza d'onda:

(25)${\displaystyle \ \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{\nu }}={v}{T}}$

Utilizzando la (24) e la (25), possiamo dare un'altra forma alla (22):

(26) ${\displaystyle \ V(x,t)=V_{1}e^{-\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)+V_{2}e^{\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t+{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)}$

e, analogamente, alla (23):

(27)${\displaystyle \ I(x,t)={\frac {V_{1}}{Z_{0}}}e^{-\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}-\varphi \right)-{\frac {V_{2}}{Z_{0}}}e^{\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t+{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}-\varphi \right)}$

Nel caso non dissipativo, cioè qualora ${\displaystyle R=G=0}$, dalla (17), l'espressione del parametro ${\displaystyle \gamma }$ si riduce a:

${\displaystyle \gamma =j\omega {\sqrt {LC}}}$

pertanto, in tal caso, ${\displaystyle \alpha =0}$, quindi non vi è attenuazione, e ${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$. Allora, per la (24), la velocità di fase diventa:

(24')${\displaystyle \ v={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

e ritroviamo l'espressione (9) della velocità di propagazione in una linea non dissipativa data dalle equazioni delle onde (7) e (8).

La (26) diventa in questo caso:

${\displaystyle V(x,t)=V_{1}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)+V_{2}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t+{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)}$

dove al solito ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}$. Il parametro ${\displaystyle \tau _{0}={\sqrt {LC}}}$ rappresenta il ritardo per unità di lunghezza della linea di trasmissione, che ci dice come le linee di trasmissione propaghino i segnali con ritardo, ma senza attenuazione del segnale.

Un caso particolare per l'onda di corrente (23) è quando si annulla la fase ${\displaystyle \varphi }$, la quale è l'argomento del numero complesso

${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}={\sqrt {\frac {(G-j\omega C)(R+j\omega L)}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}={\sqrt {\frac {(RG+\omega ^{2}LC)+j\omega (GL-RC)}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}}$

e vale

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ={\frac {1}{2}}\arg {\frac {(RG+\omega ^{2}LC)+j\omega (GL-RC)}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}\\[6pt]={\frac {1}{2}}\arg((RG+\omega ^{2}LC)+j\omega (GL-RC))={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {\omega (GL-RC)}{RG+\omega ^{2}LC}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

Ciò avviene per:

${\displaystyle RC=GL}$

caso generale che affronteremo nel prossimo paragrafo, e in particolare avviene per

${\displaystyle R=G=0}$

che corrisponde di nuovo alla condizione non dissipativa. In tal caso ${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} }$ si riduce ad essere reale:

${\displaystyle R_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

e quindi si riduce all'impedenza caratteristica, poiché

${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}={\sqrt {\frac {j\omega L}{j\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

e l'onda di corrente (27) si riduce a:

${\displaystyle I(x,t)={\frac {V_{1}}{R_{0}}}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)-{\frac {V_{2}}{R_{0}}}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t+{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)}$

Dalla (17):

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+j\omega \left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)+{\frac {RG}{LC}}}}}$

si vede che nel caso in cui è verificata la condizione, nota come condizione di Heaviside:^[5]

(28) ${\displaystyle \ {\frac {R}{L}}={\frac {G}{C}}\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,RC=GL}$

si ha:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma =\alpha +j\beta ={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+2j\omega {\frac {R}{L}}+\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}}}\\[6pt]={\sqrt {LC}}\left({\frac {R}{L}}+j\omega \right)=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}+j\omega {\sqrt {LC}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

da cui:

${\displaystyle \alpha =R{\sqrt {\frac {C}{L}}}}$

e

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

In tal caso, quindi, ${\displaystyle \alpha }$ non dipende più dalla frequenza e ${\displaystyle \beta }$ è linearmente crescente con la frequenza, mentre la velocità di propagazione non dipende dalla frequenza:

(24'')${\displaystyle \ v={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

come nel caso di linea non dissipativa.

Tutto ciò ci dice che la condizione (28) è la condizione di non distorsione, cioè che il segnale che si propaga entro la linea può essere attenuato ma mantiene la stessa forma originaria.

Per quanto riguarda l'onda di corrente (23), ragionando allo stesso modo sui parametri ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle \gamma }$, si comprende che la condizione di non distorsione è sempre:

${\displaystyle RC=GL}$

ed anche in tal caso la fase ${\displaystyle \varphi }$ di ${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} }$ si annulla:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {\omega (GL-RC)}{RG+\omega ^{2}LC}}=0}$.

${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} }$ diviene quindi reale e indipendente dalla frequenza, in quanto:

${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {(RG+\omega ^{2}LC)+j\omega (GL-RC)}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}={\sqrt {\frac {RG+\omega ^{2}LC}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}={\sqrt {\frac {\left({\frac {R}{L}}+\omega ^{2}{\frac {C}{G}}\right)LG}{\left({\frac {G}{C}}+\omega ^{2}{\frac {C}{G}}\right)GC}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$ .

Allo stesso risultato si può arrivare direttamente dalla definizione di ${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} }$:

${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}={\sqrt {\frac {\left({\frac {R}{L}}+j\omega \right)L}{\left({\frac {G}{C}}+j\omega \right)C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

Si noti che si arriva alla stessa espressione ottenuta nel caso della linea di trasmissione non dissipativa. In questo caso però l'attenuazione è ancora presente, visto che ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle G}$ sono in generale differenti da ${\displaystyle 0}$.

Abbiamo visto, con la (24), che, in regime sinusoidale, fissata la frequenza e quindi la pulsazione, la velocità di propagazione entro una linea è

${\displaystyle \ v={\frac {\omega }{\beta }}}$

e, in particolare, se la linea è non dissipativa, o non distorcente, per la (24') o per la (24''), si ha:

${\displaystyle v={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

In generale, ad una data frequenza, si definisce fattore di velocità in una linea di trasmissione, spesso indicato con ${\displaystyle VF}$ (dall'inglese velocity factor) il rapporto tra la velocità di propagazione entro la linea e la velocità di propagazione c dei segnali elettromagnetici nel vuoto:

${\displaystyle VF={\frac {v}{c}}={\frac {\omega }{c\beta }}}$

Evidentemente, nel caso di una linea non dissipativa o non distorcente, esso non dipende dalla frequenza e si ha:

${\displaystyle \ VF={\frac {v}{c}}={\frac {\omega }{c\beta }}={\frac {1}{c{\sqrt {LC}}}}}$

Essendo, in base alla teoria della relatività ristretta, c la massima velocità possibile, necessariamente si ha:

${\displaystyle \ 0<VF\leqslant 1}$

Come mostra la (10), la velocità di propagazione entro una linea è correlata al dielettrico in essa impiegato, cioè al materiale isolante che separa i due conduttori con cui è realizzata la linea. Per esempio, ecco una tabella^[6] che mostra il fattore di velocità per alcuni cavi coassiali presenti in commercio, il quale può essere approssimato come costante nell'approssimazione di trattare tali cavi come linee non dissipative:

Cavo coassiale	Fattore di velocità
RG 58 C/U MIL M17/028	0,66
RG214/U MIL M17/075/U MIL M17/075	0,66
RG 58 C/U FOAM	0,80
RG 213/U TYPE	0,66
FOAM XT2400	0,81

Dalla (25) si può vedere che un'applicazione del fattore di velocità è quella di calcolare, a parità di frequenza, di quanto diminuisce la lunghezza d'onda entro la linea rispetto a quella che si avrebbe nel vuoto, o in una linea avente il vuoto come dielettrico. Infatti, fissata la frequenza, è facile mostrare che la lunghezza d'onda ${\displaystyle \lambda }$ che si ha entro la linea è ridotta rispetto a quella nel vuoto ${\displaystyle \lambda _{0}}$ di un fattore pari proprio al fattore di velocità, cioè:

(25')${\displaystyle \ \lambda =VF\cdot \lambda _{0}}$

La (25') può essere generalizzata per una lunghezza generica che non sia necessariamente la lunghezza d'onda, osservando che, a parità di tempo di propagazione di un segnale, la lunghezza ${\displaystyle l}$ percorsa dal segnale entro la linea diminuisce, rispetto alla lunghezza ${\displaystyle l_{0}}$ che sarebbe percorsa nel vuoto, o in una linea avente il vuoto come dielettrico, di un fattore pari proprio al fattore di velocità, cioè:

(25'')${\displaystyle \ l=VF\cdot l_{0}}$

Se come lunghezza ${\displaystyle l}$ si considera proprio la lunghezza geometrica di un tratto di linea di trasmissione, la corrispondente lunghezza ${\displaystyle l_{0}}$ che sarebbe percorsa nel vuoto prende il nome di lunghezza elettrica^[5] dello stesso tratto di linea e risulta maggiore della lunghezza geometrica.

Si definisce impedenza d'ingresso in un generico punto di una linea di trasmissione il rapporto tra la tensione ai capi di un generatore e la corrente erogata dallo stesso generatore connesso in quel punto della linea. In regime sinusoidale, indicate con ${\displaystyle \mathbf {V} (x)}$ e ${\displaystyle \mathbf {I} (x)}$, rispettivamente, la tensione e la corrente in un generico punto x della linea, l'impedenza d'ingresso in tal punto è definita come:

(29) ${\displaystyle \ \mathbf {Z_{in}} (x)={\frac {\mathbf {V} (x)}{\mathbf {I} (x)}}}$

Anche se il generatore è connesso a inizio linea, ossia nel punto ${\displaystyle x=0}$, anche in un altro punto x della linea l'impedenza d'ingresso è comunque espressa dalla (29).

Assodato ciò, riscriviamo la (20) e la (21) nel seguente modo:

(20')${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (x)=\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}+\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}\\[6pt]=\mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)\\[6pt]\end{aligned}}}$

(21')${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} (x)={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}]\\[6pt]={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{F}} (x)-\mathbf {V_{R}} (x)]\\[6pt]\end{aligned}}}$

avendo indicato con ${\displaystyle \mathbf {V_{F}} (x)}$ e ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} (x)}$, rispettivamente, l'onda progressiva e l'onda regressiva di tensione.

Sostituendo nell'espressione dell'impedenza d'ingresso in un generico punto, otteniamo:^[5]

(29')${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Z_{in}} (x)={\frac {\mathbf {V} (x)}{\mathbf {I} (x)}}\\[6pt]\ =\mathbf {Z_{0}} {\frac {\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}+\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}}{\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}}}\\[6pt]=\mathbf {Z_{0}} {\frac {\mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)-\mathbf {V_{R}} (x)}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

Inoltre, notiamo che, prima dalla (20') insieme alla (29), poi dalla (21'), si ha:

(20'')${\displaystyle \ \mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)=\mathbf {I} (x)\mathbf {Z_{in}} (x)=\mathbf {V} (x)}$

(21'')${\displaystyle \ \mathbf {V_{F}} (x)-\mathbf {V_{R}} (x)=\mathbf {I} (x)\mathbf {Z_{0}} }$

il che evidenzia la diversità tra impedenza d'ingresso in un punto della linea e impedenza caratteristica.

Si definisce, invece, coefficiente di riflessione in un generico punto di una linea di trasmissione il rapporto tra l'onda di tensione regressiva e quella progressiva. Se l'onda regressiva è generata da una riflessione che avviene per la presenza di un carico a fine linea, si dice anche che il coefficiente di riflessione è definito come il rapporto tra l'onda di tensione riflessa e quella diretta:

(30)${\displaystyle \ \rho (x)={\frac {\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)}}={\frac {\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}}{\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}}}={\frac {\mathbf {V_{2}} e^{-\gamma x}}{\mathbf {V_{1}e^{\gamma x}} }}={\frac {\mathbf {V_{2}} }{\mathbf {V_{1}} }}e^{2\gamma x}={\frac {\mathbf {V_{2}} }{\mathbf {V_{1}} }}e^{2\alpha x}e^{2j\beta x}}$

da cui ${\displaystyle \rho (x=0)={\frac {\mathbf {V_{2}} }{\mathbf {V_{1}} }}}$, ${\displaystyle \ \rho (x)=[\rho (x=0)]e^{2\gamma x}}$.

Se la linea di trasmissione è dissipativa, al variare della posizione x lungo la linea, la rappresentazione parametrica di ${\displaystyle \rho (x)}$ nel piano complesso ${\displaystyle (Re[\rho ],Im[\rho ])}$ descrive una curva a spirale, a causa della presenza del termine ${\displaystyle e^{2\alpha x}}$.

Se, invece, la linea è non dissipativa, come visto in precedenza, si ha ${\displaystyle \alpha =0}$ e ${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$ e, per la (25), ${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}}$, pertanto, al variare della posizione x lungo la linea, la rappresentazione parametrica di ${\displaystyle \rho (x)}$ nel piano complesso ${\displaystyle (Re[\rho ],Im[\rho ])}$, ossia

(31)${\displaystyle \ \rho (x)=[\rho (x=0)]e^{2j\beta x}=[\rho (x=0)]e^{2j{\frac {2\pi }{\lambda }}x}}$,

visto che l'esponenziale con esponente immaginario è una funzione periodica con modulo unitario, descrive una circonferenza, con modulo costante pari al raggio, percorsa in senso antiorario^[7] al crescere della distanza x dal generatore, completando un giro in mezza lunghezza d'onda, ossia ${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}}$, che è il periodo della funzione.

Supponiamo, ora, che una linea di trasmissione termini con un carico che ha impedenza ${\displaystyle \mathbf {Z_{L}} }$. Oltre alla coordinata spaziale x, introduciamo una seconda coordinata spaziale ${\displaystyle l}$ che indica la distanza dal carico, pertanto è crescente nel senso inverso rispetto alla coordinata x, ossia andando dal carico verso il generatore, e il punto ${\displaystyle l=0}$ corrisponde al carico, dunque, evidentemente, si ha:

(32)${\displaystyle \ \mathbf {Z_{in}} (l=0)=\mathbf {Z_{L}} }$

Inoltre, procedendo in senso inverso, il coefficiente di riflessione ha il seguente andamento:

(30')${\displaystyle \ \rho (l)=[\rho (l=0)]e^{-2\gamma l}}$

e, se la linea è non dissipativa, la rappresentazione parametrica di ${\displaystyle \rho (l)}$ nel piano complesso ${\displaystyle (Re[\rho ],Im[\rho ])}$, ossia

(31')${\displaystyle \ \rho (l)=[\rho (l=0)]e^{-2j\beta l}=[\rho (l=0)]e^{-2j{\frac {2\pi }{\lambda }}l}}$,

descrive una circonferenza percorsa in senso orario^[7], sempre con periodo ${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}}$.

È possibile provare una relazione che lega coefficiente di riflessione, impedenza d'ingresso e impedenza caratteristica (o più precisamente il parametro complesso ${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} }$ che nel caso di linea non dissipativa si riduce a quest'ultima):

(33)${\displaystyle \ {\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)}{\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}}$

oppure, analogamente:

(33')${\displaystyle \ {\frac {\mathbf {Z_{in}} (l)}{\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {1+\rho (l)}{1-\rho (l)}}}$

Invertendo la (33) si ottiene:

(34)${\displaystyle \ \rho (x)={\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{in}} (x)+\mathbf {Z_{0}} }}}$

oppure, analogamente:

(34')${\displaystyle \ \rho (l)={\frac {\mathbf {Z_{in}} (l)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{in}} (l)+\mathbf {Z_{0}} }}}$

Adesso, osserviamo che se applichiamo la (33') e la (34') a distanza nulla ${\displaystyle l=0}$ dal carico, ricordando la (32), per il coefficiente di riflessione a fine linea si ha:^[5]

(33'')${\displaystyle \ {\frac {\mathbf {Z_{L}} }{\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {1+\rho (l=0)}{1-\rho (l=0)}}}$

(34'')${\displaystyle \ \rho (l=0)={\frac {\mathbf {Z_{L}} -\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{L}} +\mathbf {Z_{0}} }}}$

Dalla (34'') si evince che:

• se la linea è cortocircuitata alla fine, ossia se ${\displaystyle \mathbf {Z_{L}} =0}$, allora ${\displaystyle \rho (l=0)=-1}$ e si parla di riflessione negativa, cioè, a fine linea c'è una riflessione totale e l'onda riflessa di tensione, rispetto a quella diretta, è invertita di fase;
• se la linea è aperta alla fine, ossia se ${\displaystyle \mathbf {Z_{L}} =\infty }$, allora ${\displaystyle \rho (l=0)=+1}$ e si parla di riflessione positiva, cioè, a fine linea c'è una riflessione totale e l'onda riflessa di tensione, rispetto a quella diretta, non è invertita di fase;
• infine, se ${\displaystyle \mathbf {Z_{L}} =\mathbf {Z_{0}} }$, allora ${\displaystyle \rho (l=0)=0}$, dunque non c'è onda riflessa e si dice che c'è adattamento di impedenza tra il carico e la linea; in tal caso, dalla (30') si evince che il coefficiente di riflessione è nullo lungo tutta la linea.

Con la (29) e la (29') abbiamo visto come si può esprimere l'impedenza d'ingresso in un punto della linea. Tuttavia, spesso, si pone il problema di volere determinare il valore numerico di tale impedenza conoscendone il valore in un altro punto della linea e conoscendo la distanza tra i due punti. In proposito, indicando nuovamente con x la coordinata spaziale crescente andando dal generatore verso il carico, è possibile dimostrare la seguente relazione:

(35)${\displaystyle \ \mathbf {Z_{in}} (x)=\mathbf {Z_{0}} {\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)-\mathbf {Z_{0}} \tanh(\gamma x)}{\mathbf {\mathbf {Z_{0}} -Z_{in}} (x=0)\tanh(\gamma x)}}}$

oppure, indicando nuovamente con ${\displaystyle \mathbf {Z_{L}} }$ l'impedenza del carico a fine linea e con ${\displaystyle l}$ la distanza dal carico, la quale è crescente andando dal carico verso il generatore, si ha:^[8][9][10]

(35')${\displaystyle \ \mathbf {Z_{in}} (l)=\mathbf {Z_{0}} {\frac {\mathbf {Z_{L}} +\mathbf {Z_{0}} \tanh(\gamma l)}{\mathbf {\mathbf {Z_{0}} +Z_{L}} \tanh(\gamma l)}}}$

Se la linea è non dissipativa, ricordiamo di nuovo che ${\displaystyle \mathbf {Z_{0}} }$ diviene un numero reale e si riduce all'impedenza caratteristica ${\displaystyle R_{0}}$ e che si ha ${\displaystyle \alpha =0}$, ${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}={\frac {2\pi }{\lambda }}}$, dunque ${\displaystyle \gamma =j{\frac {2\pi }{\lambda }}}$. Sostitundo questa espressione nella (35) e nella (35') e ricordando che, in generale,

${\displaystyle \tanh(j\beta )=j\cdot \tan(\beta )}$,

otteniamo:

(36)${\displaystyle \ \mathbf {Z_{in}} (x)=R_{0}{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)-jR_{0}\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}x)}{R_{0}-j\mathbf {Z_{in}} (x=0)\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}x)}}}$

oppure:^[5][9]

(36')