Lituo (matematica)

Il lituo è un tipo di spirale archimedea in cui (in coordinate polari) l'anomalia ${\displaystyle \theta }$ è inversamente proporzionale al quadrato del raggio vettore ${\displaystyle r}$.^[1]

${\displaystyle r^{2}\theta =k,}$

con ${\displaystyle k}$ costante reale non nulla. Esso è asintotico alla retta di equazione ${\displaystyle \theta =0}$ (l'asse delle ${\displaystyle x}$ in coordinate cartesiane) e si avvicina asintoticamente all'origine degli assi.

Il lituo è composto da due rami, uno corrispondente ai valori positivi di ${\displaystyle r}$ e l'altro corrispondente ai valori negativi.^[2]

Il professore di Cambridge Roger Cotès (1682-1716) fu il primo a studiare la curva. Il suo lavoro è stato pubblicato solo dopo la sua morte. Fu però il matematico scozzese Colin Maclaurin a dare alla curva il suo nome nel suo libro "Harmonia Mensurarum" (1722) usando la rassomiglianza della curva con un pastorale (in latino lituus).^[3][4]

Poiché l'area del settore circolare è:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta ,}$

è facile vedere come una definizione alternativa del lituo è: il luogo dei punti individuato da un punto ${\displaystyle P}$ che si muove in modo tale che l'area di un settore circolare di raggio ${\displaystyle OP,}$ con ${\displaystyle O}$ origine degli assi cartesiani, rimane costante all'aumentare dell'angolo. In altre parole, supponiamo che ${\displaystyle M_{1}}$ sia un punto sulla curva, e ${\displaystyle M_{2}}$ un punto posto sull'asintoto a distanza ${\displaystyle OM_{1}}$ dall'origine ${\displaystyle O.}$ Allora l'area del settore circolare ${\displaystyle OM_{1}M_{2}}$ rimane costante mentre ${\displaystyle M_{1}}$ si sposta verso il centro sulla curva. Un'immagine chiarificatrice è qui a destra.

La curva ha punti di flesso in ${\displaystyle (\theta ,r)=\left({\frac {1}{2}},k{\sqrt {2}}\right)}$ e ${\displaystyle (\theta ,r)=\left({\frac {1}{2}},-k{\sqrt {2}}\right)}$ dove ${\displaystyle k}$ è la costante della curva^[5]

La curvatura ${\displaystyle K}$ e l'angolo tangente ${\displaystyle \phi }$ sono date da:

${\displaystyle K(\theta )=(8\theta ^{2}-2)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}},}$

${\displaystyle \phi (\theta )=\theta -\arctan(2\theta ).}$^[4]

Il ramo della curva corrispondente ai valori positivi di ${\displaystyle r}$ può anche essere rappresentato in coordinate cartesiane nel seguente modo^[2]:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta ={\sqrt {\frac {k}{\theta }}}\cos \theta \\y=r\sin \theta ={\sqrt {\frac {k}{\theta }}}\sin \theta \\\end{cases}}}$

• Spirale
• Spirale archimedea
• Spirale aurea
• Spirale di Fermat
• Spirale iperbolica
• Spirale logaritmica

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Lituo

• (EN) Eric W. Weisstein, Lituo, su MathWorld, Wolfram Research.