Metodo delle variazioni delle costanti

In analisi matematica, il metodo di variazione delle costanti o metodo di Lagrange è una procedura generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita è chiamata in tutti gli esempi .

Equazioni del primo ordine

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Una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale è del tipo:

.

Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

.

Tale forma è suggerita dalla soluzione dell'equazione omogenea associata:

che, per separazione delle variabili, si ottiene essere nella forma:

,

dove è una primitiva di e è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che, per la soluzione dell'equazione completa, la costante viene trasformata in una funzione del tempo da determinare.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

,

da cui, sostituendo:

.

Semplificando si ottiene:

.

Moltiplicando ambo i membri per e integrando si ha:

,

dove è una costante arbitraria. Pertanto si ottiene l'insieme di soluzioni particolari:

in cui si può scegliere la soluzione particolare più semplice, cioè quella in cui .

L'integrale generale è ottenuto sommando tale soluzione particolare alla soluzione dell'equazione omogenea associata ricavata in precedenza, ottenendo:

.

A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o, addirittura, non risolvibile con metodi analitici.

Si riconosce immediatamente la coerenza con due casi particolari. Per l'equazione omogenea, ponendo si ottiene , che ne è soluzione; nel caso di coefficiente costante si riconosce che la soluzione è in termini dell'esponenziale .

Per integrare l'equazione

è sufficiente riconoscere che (la cui primitiva è ), che e sostituire nell'integrale generale ottenendo la soluzione generale:

che può essere verificata per sostituzione nell'equazione differenziale data. Eventuali condizioni aggiuntive possono poi essere utilizzate per ottenere il valore di .

Equazioni del secondo ordine

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Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:

Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

costruite a partire da due soluzioni e dell'equazione omogenea associata:

Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:

Questo fa sì che risulti:

e di conseguenza:

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

e quindi:

I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché e sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:

Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite e :

Il determinante della matrice:

è il wronskiano di e : questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:

Integrando e si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

Equazioni di ordine n

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Nel caso di equazioni di ordine n:

si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:

Si risolve quindi il sistema lineare nelle n incognite :

Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.

Nello specifico, data un'equazione ordinaria lineare non omogenea:

sia un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:

Allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è data da:

dove sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:

Considerando la soluzione particolare dell'equazione omogenea, differenziando ripetutamente e utilizzando le condizioni precedenti:

Con un'ultima differenziazione si ha:

Sostituendo quindi la soluzione particolare nell'equazione di partenza e applicando le ultime due relazioni si ottiene:

Questa equazione e la precedente sono sistemi lineari che possono essere risolti con la regola di Cramer:

dove è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da .

La soluzione particolare dell'equazione non omogenea può essere scritta come:

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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