Misura discreta

In matematica, più precisamente nella teoria della misura, una misura sulla retta reale è detta misura discreta (rispetto alla misura di Lebesgue) se il suo supporto è al più un insieme numerabile.

Una misura ${\displaystyle \mu }$ definita sugli insiemi Lebesgue misurabili della retta reale a valori ${\displaystyle [0,\infty ]}$ è detta essere discreta se esiste una successione di numeri:

${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$

tale che:

${\displaystyle \mu (\mathbb {R} \backslash \{s_{1},s_{2},\dots \})=0}$

L'esempio più semplice di misura discreta sulla retta reale è la delta di Dirac ${\displaystyle \delta }$. Si ha che ${\displaystyle \delta (\mathbb {R} \backslash \{0\})=0}$ e ${\displaystyle \delta (\{0\})=1}$.

Più generalmente, se ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$ è una successione di numeri reali, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ una sequenza di numeri in ${\displaystyle [0,\infty ]}$ della stessa lunghezza, allora si può considerare la misura di Dirac ${\displaystyle \delta _{s_{i}}}$ definita come:

${\displaystyle \delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}}$

per ogni insieme Lebesgue misurabile ${\displaystyle X}$. Quindi, la misura:

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$

è una misura discreta. In effetti, si può dimostrare che ogni misura discreta sulla retta reale ha questa forma per una scelta appropriata di ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$ e ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$.

La nozione di misura discreta può essere estesa al caso più generale degli spazi misurabili. Dato uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ e due misure ${\displaystyle \mu }$ and ${\displaystyle \nu }$ su di esso, ${\displaystyle \mu }$ si dice discreta rispetto alla misura ${\displaystyle \nu }$ se esiste un sottoinsieme al più numerabile ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle X}$ tale che:

• Tutti i singoletti ${\displaystyle \{s\}}$ con ${\displaystyle s}$ in ${\displaystyle S}$ sono misurabili (che implica che ogni sottoinsieme di ${\displaystyle S}$ è misurabile)
• ${\displaystyle \nu (S)=0}$
• ${\displaystyle \mu (X\backslash S)=0}$

Si noti che i primi due requisiti sono sempre soddisfatti per un sottoinsieme al più numerabile della retta reale se ${\displaystyle \nu }$ è la misura di Lebesgue, quindi non sono necessarie nella definizione data inizialmente.

Come nel caso delle misure sulla retta reale, una misura ${\displaystyle \mu }$ su ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ è discreta rispetto ad un'altra misura ${\displaystyle \nu }$ sullo stesso spazio se e solo se ${\displaystyle \mu }$ ha la forma:

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$

dove ${\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},\dots \}}$ e il singoletto ${\displaystyle \{s_{i}\}}$ sono in ${\displaystyle \Sigma }$, e la loro ${\displaystyle \nu }$-misura è 0.

Si può anche definire il concetto di discretezza per le misure con segno. Quindi al posto delle condizioni 2 e 3 sopra si deve chiedere che ${\displaystyle \nu }$ sia zero su tutti i sottoinsiemi misurabili ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle \mu }$ deve essere zero sui sottoinsiemi misurabili di ${\displaystyle X\backslash S}$.

• (EN) V. G. Kurbatov, Functional differential operators and equations, Kluwer Academic Publishers, 1999, ISBN = 0792356241.

• Delta di Dirac
• Misura (matematica)
• Misura deltiforme
• Supporto (matematica)

• (EN) A.P. Terekhin, Discrete measure, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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