Numero di Catalan

In matematica, i numeri di Catalan formano una successione di numeri naturali utile in molti calcoli combinatori. Prendono il nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan.

L'${\displaystyle n}$-esimo numero di Catalan ${\displaystyle C_{n}}$ può essere definito facendo uso dei coefficienti binomiali nel modo seguente:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!n!}},\quad {\text{ per }}n\geqslant 0.}$

La successione dei numeri di Catalan è registrata nella OEIS con la sigla A000108^[1]. I primi 25 numeri di Catalan sono:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796 (=C₁₀),

58786, 208012, 742900, 2674440,   9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420 (=C₂₀),

24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324 (=C₂₄).

I numeri di Catalan possono essere definiti in modo ricorsivo imponendo ${\displaystyle C_{0}=1}$ e

${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}C_{i}C_{n-1-i},\quad {\text{ per }}n\geq 1.}$

Questa relazione di ricorrenza è stata notata per la prima volta nel 1758 dal de Segner^[2]. In particolare, la relazione mostra che i numeri di Catalan sono effettivamente dei numeri interi.

Un'espressione alternativa è la seguente:

${\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n-1},\quad {\text{ per }}n\geq 1.}$

Molti problemi combinatori hanno come soluzione i numeri di Catalan. Ad esempio:

• ${\displaystyle C_{n}}$ è il numero di modi in cui un poligono convesso con ${\displaystyle n+2}$ lati può essere suddiviso in triangoli. Ad esempio, per ${\displaystyle n=4}$ il poligono è un esagono e i modi sono effettivamente ${\displaystyle C_{4}=14}$:

• ${\displaystyle C_{n}}$ è il numero delle parole di Dyck di lunghezza ${\displaystyle 2n}$. Una parola di Dyck è composta di ${\displaystyle n}$ lettere ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle n}$ lettere ${\displaystyle Y}$, tale che ogni segmento iniziale non contenga più ${\displaystyle Y}$ che ${\displaystyle X}$. Ad esempio, le parole di Dyck con ${\displaystyle 6}$ lettere sono effettivamente ${\displaystyle C_{3}=5}$:

• ${\displaystyle C_{n}}$ è il numero di modi in cui è possibile inserire ${\displaystyle n}$ coppie di parentesi in un prodotto di ${\displaystyle n+1}$ fattori. Ad esempio, per ${\displaystyle n=3}$ si ottiene

${\displaystyle (((ab)c)d)\quad ((a(bc))d)\quad ((ab)(cd))\quad (a((bc)d))\quad (a(b(cd)))}$

• ${\displaystyle C_{n}}$ è il numero di alberi binari pieni con ${\displaystyle n}$ nodi padre. Qui è mostrato il caso ${\displaystyle n=3}$:

• ${\displaystyle C_{n}}$ è il numero delle permutazioni degli interi ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ ordinabili mediante pila;
• ${\displaystyle C_{n}}$ è il numero dei cammini in una griglia ${\displaystyle n\times n}$ che collegano due vertici opposti restando sempre sotto la diagonale. I cammini per ${\displaystyle n=4}$ sono effettivamente ${\displaystyle 14}$:

• ${\displaystyle C_{n}}$ è il numero di possibili tassellazioni di una scala di ${\displaystyle n}$ gradini con ${\displaystyle n}$ rettangoli. Ad esempio, per ${\displaystyle n=4}$ si ottiene

Il nome di questi numeri è stato scelto in onore del matematico belga Eugène Charles Catalan (1814-1884) che li aveva studiati elegantemente intorno al 1838. La successione di questi numeri però già nel XVIII secolo era stata individuata dal matematico tedesco-ungherese Jan Andrej Segner (1704-1777) ed era stata studiata da Eulero. Inoltre, contemporaneamente a Catalan, era stata studiata dal matematico francese Jacques Binet (1786-1857). Il fatto che l'n-esimo numero di Catalan corrisponda al numero delle parole di Dyck aventi lunghezza 2n è stato trovato da Désiré André nel 1887.

• (EN) John Horton Conway, Richard Kenneth Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, 1996, pp. 96-106.
• (EN) Richard Peter Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 2, Cambridge University Press, 1999, pp. 219-229.
• Giuseppe Fera e Giorgio Tescaro, I numeri di Catalan, in Archimede, luglio/settembre 2007, pp. 124-132.

• Eugène Charles Catalan
• Parola di Dyck

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sui numeri di Catalan

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero di Catalan, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Catalan numbers su MacTutor

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