Numero di Cullen

In matematica si chiamano numeri di Cullen e si indicano con ${\displaystyle C_{n}}$ i numeri naturali tali che

${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1.}$

Furono studiati per la prima volta da James Cullen nel 1905. Gli studi di Cullen sui numeri di questo tipo furono utilizzati nel 1917 da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall per la (simile) definizione dei numeri di Woodall. I primi numeri di Cullen sono:

${\displaystyle C_{1}=3}$

${\displaystyle C_{2}=9}$

${\displaystyle C_{3}=25}$

${\displaystyle C_{4}=65}$

${\displaystyle C_{5}=161}$

${\displaystyle C_{6}=385}$

${\displaystyle C_{7}=897}$

(sequenza A002064 dell'OEIS).

I numeri di Cullen che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Cullen. I primi valori di ${\displaystyle n}$ che rendono primi i numeri di Cullen sono ${\displaystyle 1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419}$ (sequenza A005849 dell'OEIS). A differenza dei numeri primi di Woodall, i primi di Cullen sono molto difficili da calcolare. I primi due sono

${\displaystyle C_{1}=3}$

${\displaystyle C_{141}=393050634124102232869567034555427371542904833\approx 3{,}93\cdot 10^{44}}$

A gennaio 2019, il numero ${\displaystyle n}$ più alto conosciuto che genera un numero primo di Cullen è ${\displaystyle 6679881}$ e origina un primo composto da 2010852 cifre. Tale numero è stato scoperto da Magnus Bergman nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.

Un numero di Cullen è divisibile per ${\displaystyle p=2n-1}$ se ${\displaystyle p}$ è un numero primo di forma ${\displaystyle p=8k-3}$. Inoltre, grazie al piccolo teorema di Fermat, sappiamo che ${\displaystyle p}$ sarà un numero dispari, e ne segue che ${\displaystyle p}$ divide anche ${\displaystyle C_{m(k)}}$ per ogni ${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k}$ per ogni ${\displaystyle k}$ positivo.

È stato inoltre dimostrato che ${\displaystyle p}$ divide il numero

${\displaystyle C_{\frac {p+1}{2}},}$

quando simbolo di Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {p}{2}}\right)}$ è ${\displaystyle -1}$

e divide

${\displaystyle C_{\frac {3p-1}{2}}}$

se il simbolo di Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {p}{2}}\right)}$ è ${\displaystyle +1}$

Un numero di forma

${\displaystyle C_{n}=n\cdot b^{n}+1,}$

è chiamato numero di Cullen generalizzato.

• Numero di Woodall
• Numeri primi

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero di Cullen, su MathWorld, Wolfram Research.

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