Nuova fondazione

La Nuova fondazione (in inglese New foundations o NF), nella teoria assiomatica degli insiemi, è il sistema assiomatico elaborato da Willard Van Orman Quine nel saggio Nuovi fondamenti per la logica matematica verso gli anni cinquanta-sessanta, riveduto negli anni ottanta, ispirato per molti aspetti alla teoria dei tipi contenuta nei Principia Mathematica di Russell-Whitehead.

«Semplificata la teoria dei tipi per l'applicazione al presente sistema, la teoria funziona come segue. Dobbiamo pensare tutti gli oggetti come stratificati in cosiddetti tipi, in modo tale che il tipo più basso comprenda gli individui, il successivo comprenda le classi di individui, il successivo le classi di classi e così via. In ogni contesto, bisogna considerare che ciascuna variabile ammette unicamente valori di un tipo solo.»

Per le formule di NF (il cui linguaggio formale è analogo a quello della Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC), sebbene Quine utilizzi l'operatore negazione alternativa di Henry Sheffer come base di connettivi), vige una nozione peculiare, quella di stratificazione. Una formula si dice stratificata se e solo se è possibile sostituire ogni variabile che contiene con un numero naturale, a costo delle seguenti condizioni:

che la sostituzione avvenga in modo uniforme (occorrenze diverse nella stessa variabile vanno rimpiazzate in modo uniforme);
che per ogni occorrenza del predicato di appartenenza, il numero seguente tale predicato sia il successore del numero che lo preceda.

Gli assiomi di NF sono due:

l'assioma di estensionalità;
l'assioma chiamato "schema di comprensione stratificata": più formalmente, se α è stratificata e non include x, esiste un x, per ogni y, tale che y appartiene a x se e solo se α.

Pur essendo meno nota di ZFC, NF costituisce, grazie alla sua semplicità, una teoria più elegante di ZFC e forse ancora più potente (da Ernst Specker è stato dimostrato che l'assioma della scelta è in contraddizione con NF; non solo: l'assioma dell'infinito è ricavabile dagli assiomi di NF). Tuttavia, essa si presenta come una teoria formale ancora interamente da sondare (per esempio, non è ancora stata provata la sua consistenza), investendo così parte delle ricerche attuali sui fondamenti della matematica.

Bibliografia

W.V.O.Quine, Nuovi fondamenti per la logica matematica, in Da un punto di vista logico. Saggi logico-filosofici, Raffaello Cortina Editore, Milano 2004.
A. Iacona, S.Cavagnetto, Teoria della logica del prim'ordine, Carocci, Le Bussole, Roma 2010.

Voci correlate

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica