Piano complesso
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In analisi complessa, il piano complesso (chiamato anche piano di Argand-Gauss) è una rappresentazione bidimensionale dell'insieme dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse delle ascisse, detto per questo asse reale, e la parte immaginaria rappresentata sull'asse delle ordinate, detto quindi asse immaginario.
Storia
[modifica | modifica wikitesto]Il piano complesso è a volte chiamato piano di Argand per il suo uso nei diagrammi di Argand. La sua creazione è generalmente attribuita a Jean-Robert Argand, in parallelo con Carl Friedrich Gauss, per cui viene da alcuni anche definito piano di Gauss. Per non sminuire uno o l'altro matematico viene anche definito piano di Argand-Gauss anche se fu descritto per la prima volta nel 1799 dal matematico norvegese-danese Caspar Wessel.
Uso
[modifica | modifica wikitesto]Il concetto del piano complesso consente una interpretazione geometrica dei numeri complessi. Sotto addizione, i numeri complessi si sommano come vettori, mentre la moltiplicazione di numeri complessi può essere geometricamente espressa usando le coordinate polari, dove il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli dei fattori e l'argomento del prodotto (angolo dall'asse reale) è la somma degli angoli dei fattori.
I diagrammi di Argand sono frequentemente usati per graficare la posizione dei poli o di zeri di una funzione nel piano complesso.
Uso e notazioni
[modifica | modifica wikitesto]Un numero complesso può essere separato in parte reale e immaginaria:
dove e sono numeri reali, e è l'unità immaginaria. I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta reale euclidea. In questa notazione, il numero complesso corrisponde al punto del piano cartesiano. L'ascissa è data da (la parte reale, l'asse delle ) e l'ordinata da (la parte immaginaria, l'asse delle ordinate).
Nel piano cartesiano, il punto può anche essere rappresentato in coordinate polari come:
dove il modulo e la fase sono ricavate (per ) dalle formule
Per il calcolo della fase si può usare la funzione arcotangente2.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7.
- (EN) E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis; Springer-Verlag(2005).
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul piano complesso
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- piano complesso, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Piano complesso, su MathWorld, Wolfram Research.