In fisica , il potenziale di Liénard-Wiechert è il potenziale elettromagnetico generato da una carica elettrica in moto.
L'espressione del potenziale è stata sviluppata in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert [ 1] in un modo indipendente da quello di Liénard.
Il potenziale elettromagnetico A α ( x ) = ( φ , A ) {\displaystyle A^{\alpha }(x)=(\varphi ,\mathbf {A} )} generato nel punto x = ( x 0 , x ) {\displaystyle x=(x_{0},\mathbf {x} )} da una sorgente puntiforme di carica in moto e {\displaystyle e} è dato da:[ 2]
A α ( x ) = e V α ( τ = τ 0 ) V ⋅ [ x − r ( τ = τ 0 ) ] x 0 > r 0 ( τ 0 ) {\displaystyle A^{\alpha }(x)={\frac {eV^{\alpha }(\tau =\tau _{0})}{V\cdot [x-r(\tau =\tau _{0})]}}\qquad x_{0}>r_{0}(\tau _{0})} dove V α ( τ ) = γ ( c , v s ) {\displaystyle V^{\alpha }(\tau )={\gamma }(c,\mathbf {v} _{s})} è la quadrivelocità della carica, r α ( τ ) = ( r 0 , r s ) {\displaystyle r^{\alpha }(\tau )=(r_{0},\mathbf {r} _{s})} la sua posizione e τ {\displaystyle \tau } il tempo proprio . Nell'equazione la velocità e la posizione vengono valutati al tempo τ 0 {\displaystyle \tau _{0}} , che è definito dalla condizione del cono di luce :
[ x − r ( τ 0 ) ] 2 = 0 {\displaystyle [x-r(\tau _{0})]^{2}=0} Tale condizione implica che:
x 0 − r 0 ( τ 0 ) = | x − r s ( τ 0 ) | {\displaystyle x_{0}-r_{0}(\tau _{0})=|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|} e pertanto permette di scrivere:
V ⋅ ( x − r ) = γ c ( x 0 − r 0 ( τ 0 ) ) − γ v s ⋅ ( x − r s ( τ 0 ) ) = γ c | x − r s ( τ 0 ) | − γ v s ⋅ n | x − r s ( τ 0 ) | = γ c | x − r s ( τ 0 ) | ( 1 − β ⋅ n ) {\displaystyle {\begin{aligned}V\cdot (x-r)&=\gamma c(x_{0}-r_{0}(\tau _{0}))-\gamma \mathbf {v} _{s}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0}))\\&=\gamma c|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|-\gamma \mathbf {v} _{s}\cdot \mathbf {n} |\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|\\&=\gamma c|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )\end{aligned}}} con n {\displaystyle \mathbf {n} } vettore unitario che ha la direzione di x − r s ( τ ) {\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )} .
Si ottiene in questo modo una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico φ {\displaystyle \varphi } e del potenziale magnetico A {\displaystyle \mathbf {A} } generati da una sorgente puntiforme di carica in moto:[ 3]
φ ( x , t ) = 1 4 π ε 0 ( e ( 1 − n ⋅ β ) | x − r s ( τ ) | ) τ = τ 0 A ( x , t ) = μ 0 c 4 π ( e β ( 1 − n ⋅ β ) | x − r s ( τ ) | ) τ = τ 0 = β ( τ = τ 0 ) c φ ( x , t ) {\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {e}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {e\mathbf {\beta } }{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {\beta } (\tau =\tau _{0})}{c}}\varphi (\mathbf {x} ,t)} con:
β ( t ) = v s ( t ) c {\displaystyle \mathbf {\beta } (t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}} Utilizzando la definizione dei campi elettrico e magnetico:
E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } si ottiene per il campo elettrico :
E ( x , t ) = 1 4 π ε 0 ( q ( n − β ) γ 2 ( 1 − n ⋅ β ) 3 | x − r s ( τ ) | 2 + q n × ( ( n − β ) × β ˙ ) c ( 1 − n ⋅ β ) 3 | x − r s ( τ ) | ) τ = τ 0 {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} \times {\big (}(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times {\dot {\mathbf {\beta } }}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}} e per il campo magnetico:[ 4]
B ( x , t ) = μ 0 4 π ( q c ( β × n ) γ 2 ( 1 − n ⋅ β ) 3 | x − r s ( τ ) | 2 + q n × ( n × ( ( n − β ) × β ˙ ) ) ( 1 − n ⋅ β ) 3 | x − r s ( τ ) | ) τ = τ 0 = n ( τ = τ 0 ) c × E ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc(\mathbf {\beta } \times \mathbf {n} )}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} \times {\Big (}\mathbf {n} \times {\big (}(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times {\dot {\mathbf {\beta } }}{\big )}{\Big )}}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {n} (\tau =\tau _{0})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)} con:
β ( t ) = v s ( t ) c n ( t ) = r − r s ( t ) | r − r s ( t ) | γ ( t ) = 1 1 − | β ( t ) | 2 {\displaystyle \mathbf {\beta } (t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}\qquad \mathbf {n} (t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}\qquad \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|\mathbf {\beta } (t)|^{2}}}}} dove γ {\displaystyle \gamma } è il fattore di Lorentz . il termine n − β {\displaystyle \mathbf {n} -\mathbf {\beta } } nell'espressione del campo elettrico impone che la direzione del primo termine del campo sia lungo la congiungente con la posizione della carica, mentre il secondo termine, dovuto all'accelerazione della carica, è perpendicolare a n − β {\displaystyle \mathbf {n} -\mathbf {\beta } } .
L'espressione dei campi è in questo modo data dalla somma di due contributi: il primo è detto campo di Coulomb generalizzato e decresce come il reciproco del quadrato della distanza dalla carica, il secondo è detto campo di radiazione e decresce come il reciproco della distanza dalla sorgente, e quindi è dominante lontano dalla carica. In entrambi i casi il campo di Coulomb generalizzato è relativo alla velocità della carica, mentre il campo di radiazione è generato dall'accelerazione.
La soluzione al tempo ritardato dell'equazione per i potenziali elettromagnetici è la seguente:
φ ( r , t ) = ∫ δ ( t ′ + | r − r ′ | c − t ) | r − r ′ | ρ ( r ′ , t ′ ) d 3 r ′ d t ′ A ( r , t ) = ∫ δ ( t ′ + | r − r ′ | c − t ) | r − r ′ | J ( r ′ , t ′ ) d 3 r ′ d t ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\rho (\mathbf {r} ',t')\mathrm {d} ^{3}r'\mathrm {d} t'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')\mathrm {d} ^{3}r'\mathrm {d} t'} dove ρ ( r , t ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)} e J ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)} sono i termini sorgente, e:
δ ( t ′ + | r − r ′ | c − t ) {\displaystyle \delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)} è la delta di Dirac . Per una carica che si muove in r 0 ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} _{0}(t')} con velocità v 0 ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(t')} , le densità di carica e corrente assumono la forma:
ρ ( r ′ , t ′ ) = q δ ( r ′ − r 0 ( t ′ ) ) J ( r ′ , t ′ ) = q v 0 ( t ′ ) δ ( r ′ − r 0 ( t ′ ) ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',t')=q\delta {\big (}\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t'){\big )}\qquad \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=q\mathbf {v} _{0}(t')\delta {\big (}\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t'){\big )}} Se si integra sul volume d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'} , utilizzando la relazione precedente si ottiene:
φ ( r , t ) = q ∫ δ ( t ′ + | r − r 0 ( t ′ ) | c − t ) | r − r 0 ( t ′ ) | d t ′ A ( r , t ) = q ∫ δ ( t ′ + | r − r 0 ( t ′ ) | c − t ) | r − r 0 ( t ′ ) | v 0 ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=q\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}(t')|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}(t')|}}\mathrm {d} t'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=q\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}(t')|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}(t')|}}\mathbf {v} _{0}(t')\mathrm {d} t'} ed integrando in t ′ {\displaystyle t'} si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert.[ 5]
Se si trascura il campo di Coulomb generalizzato, la componente radiale del vettore di Poynting , risultante dall'espressione di Liénard–Wiechert dei campi, è data da:[ 6]
[ S ⋅ n ^ ] τ = τ 0 = q 2 16 π 2 ε 0 c { 1 R 2 | n ^ × [ ( n ^ − β → ) × β → ˙ ] ( 1 − β → ⋅ n ^ ) 3 | 2 } {\displaystyle [\mathbf {S\cdot } {\hat {\mathbf {n} }}]_{\tau =\tau _{0}}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}\left\{{\frac {1}{R^{2}}}\left|{\frac {{\hat {\mathbf {n} }}\times [({\hat {\mathbf {n} }}-{\vec {\beta }})\times {\dot {\vec {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\mathbf {\cdot } {\hat {\mathbf {n} }})^{3}}}\right|^{2}\right\}} dove il secondo membro, a differenza del primo, non è valutato al tempo ritardato.
La relazione spaziale tra β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} e β → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {\beta }}}} determina la distribuzione di potenza angolare, ed il fattore ( 1 − β → ⋅ n → ) {\displaystyle (1-{\vec {\beta }}\mathbf {\cdot } {\vec {\mathbf {n} }})} al denominatore mostra la presenza degli effetti relativistici nel passaggio dal sistema di riferimento a riposo della particella al sistema di riferimento dell'osservatore.
L'energia irradiata per angolo solido durante un'accelerazione tra gli istanti t ′ = T 1 {\displaystyle t'=T_{1}} e t ′ = T 2 {\displaystyle t'=T_{2}} è data da:
d P d Ω = q 2 16 π 2 ε 0 c | n ^ ( t ′ ) × { [ n ^ ( t ′ ) − β → ( t ′ ) ] × β → ˙ ( t ′ ) } | 2 [ 1 − β → ( t ′ ) ⋅ n → ( t ′ ) ] 5 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}\,{\frac {|{\hat {\mathbf {n} }}(t')\times \{[{\hat {\mathbf {n} }}(t')-{\vec {\beta }}(t')]\times {\dot {\vec {\beta }}}(t')\}|^{2}}{[1-{\vec {\beta }}(t')\mathbf {\cdot } {\vec {\mathbf {n} }}(t')]^{5}}}} Integrando tale espressione su tutto l'angolo solido si ottiene la generalizzazione relativistica della formula di Larmor:[ 7]
P = q 2 6 π ε 0 c γ 6 [ | β → ˙ | 2 − | β → × β → ˙ | 2 ] {\displaystyle P={\frac {q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c}}\gamma ^{6}\left[\left|{\dot {\vec {\beta }}}\right|^{2}-\left|{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right|^{2}\right]} Distribuzione angolare della radiazione emessa da una carica in moto accelerato. Nell'immagine a destra la velocità della particella si avvicina alla velocità della luce , e l'emissione di radiazione è collimata in un cono appuntito il cui asse è diretto come la velocità. Se la carica compie un moto circolare la sua accelerazione β → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {\beta }}}} è perpendicolare alla velocità β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} . Se si sceglie un sistema di coordinate tale per cui β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} è istantaneamente in direzione z e β → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {\beta }}}} in direzione x , utilizzando le coordinate polari θ {\displaystyle \theta } e ϕ {\displaystyle \phi } per definire la direzione di osservazione, la distribuzione di potenza angolare si riduce alla seguente espressione:[ 8]
d P d Ω = q 2 16 π 2 ε 0 c | β → ˙ | 2 ( 1 − β cos θ ) 3 [ 1 − sin 2 θ cos 2 ϕ γ 2 ( 1 − β cos θ ) 2 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}{\frac {|{\dot {\vec {\beta }}}|^{2}}{(1-\beta \cos \theta )^{3}}}\left[1-{\frac {\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi }{\gamma ^{2}(1-\beta \cos \theta )^{2}}}\right]} Nel limite relativistico per velocità prossime alla velocità della luce , in cui γ ≫ 1 {\displaystyle \gamma \gg 1} , la distribuzione angolare può approssimativamente essere scritta come:[ 9]
d P d Ω ≈ q 2 2 π 2 ε 0 c 3 γ 6 | v ˙ | 2 ( 1 + γ 2 θ 2 ) 3 [ 1 − 4 γ 2 θ 2 cos 2 ϕ ( 1 + γ 2 θ 2 ) 2 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}\approx {\frac {q^{2}}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}}\gamma ^{6}{\frac {|{\dot {\mathbf {v} }}|^{2}}{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{3}}}\left[1-{\frac {4\gamma ^{2}\theta ^{2}\cos ^{2}\phi }{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{2}}}\right]} dove i fattori ( 1 − β cos θ ) {\displaystyle (1-\beta \cos \theta )} al denominatore restringono la distribuzione angolare in un fascio di luce conico e sempre più stretto al crescere della velocità, distribuito in un piccolo angolo intorno a θ = 0 {\displaystyle \theta =0} .