Primoriale

Per n ≥ 2, il primoriale di n, indicato con n#, è il prodotto di tutti i numeri primi minori o uguali ad n. Per esempio, il primoriale di 7 è 210, essendo il prodotto dei primi 4 numeri primi (2 × 3 × 5 × 7). Il nome “primoriale” (parola macedonia di primo e fattoriale) è attribuito ad Harvey Dubner. I più piccoli primoriali sono:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410^[1].

L'idea di moltiplicare tutti i primi compare nella dimostrazione del teorema dell'infinità dei numeri primi; è utilizzata per mostrare una contraddizione con l'assunzione della finitezza dei primi.

I primoriali hanno una certa importanza nella ricerca di numeri primi nelle progressioni aritmetiche. Per esempio, 2013041071 + k23# è un numero primo per 0 < k < 17, formando una sequenza di 16 primi ottenuti aggiungendo 23#, che termina con 5582526991. Inoltre 23# è anche la differenza comune di progressioni aritmetiche di quindici e sedici elementi.

Ogni numero altamente composto è un prodotto di primoriali (per esempio 360 = 2 × 6 × 30).

  p: p# (p primo) ---- ------------   2: 2   3: 6   5: 30   7: 210  11: 2310  13: 30030  17: 510510  19: 9699690  23: 223092870  29: 6469693230  31: 200560490130  37: 7420738134810  41: 304250263527210  43: 13082761331670030  47: 614889782588491410  53: 32589158477190044730  59: 1922760350154212639070  61: 117288381359406970983270  67: 7858321551080267055879090  71: 557940830126698960967415390  73: 40729680599249024150621323470  79: 3217644767340672907899084554130  83: 267064515689275851355624017992790  89: 23768741896345550770650537601358310  97: 2305567963945518424753102147331756070 

• Factorial and primorial primes. J. Recr. Math., 19, 1987, 197-203
• L'articolo sui primoriali all'indirizzo http://mathworld.wolfram.com/Primorial.html, da Wolfram Research, i creatori del programma Mathematica.

• Fattoriale
• Numero primo
• Primo primoriale

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Primoriale

• (EN) Eric W. Weisstein, Primoriale, su MathWorld, Wolfram Research.

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