Problema della scomparsa del gradiente

Il problema della scomparsa del gradiente (in lingua inglese vanishing gradient problem) è un fenomeno che crea difficoltà nell'addestramento delle reti neurali profonde tramite retropropagazione dell'errore mediante discesa stocastica del gradiente. In tale metodo, ogni parametro del modello riceve a ogni iterazione un aggiornamento proporzionale alla derivata parziale della funzione di costo rispetto al parametro stesso. Una delle principali cause è la presenza di funzioni di attivazione non lineari classiche, come la tangente iperbolica o la funzione logistica, che hanno gradiente a valori nell'intervallo ${\displaystyle (0,1)}$. Poiché nell'algoritmo di retropropagazione i gradienti ai vari livelli vengono moltiplicati tramite la regola della catena, il prodotto di ${\displaystyle n}$ numeri in ${\displaystyle (0,1)}$ decresce esponenzialmente rispetto alla profondità ${\displaystyle n}$ della rete. Quando invece il gradiente delle funzioni di attivazione può assumere valori elevati, un problema analogo che può manifestarsi è quello dell'esplosione del gradiente.

La retropropagazione dell'errore permise di addestrare le reti neurali tramite apprendimento supervisionato, ma i primi tentativi ebbero limitato successo e nel 1991, nella sua tesi di laurea, Sepp Hochreiter attribuì questa difficoltà al problema da lui chiamato "scomparsa del gradiente"^[1][2], che affligge sia le reti neurali feed-forward profonde^[3] che quelle ricorsive^[4], che dal punto di vista dell'apprendimento sono equivalenti a reti profonde in quanto vengono "srotolate" rispetto alla direzione temporale con un livello per ogni intervallo di tempo.^[5]

In una rete neurale ricorrente dopo ${\displaystyle n}$ passaggi si ripetono moltiplicazioni di una matrice con un vettore per gli stati nascosti: il vettore di output nascosto ${\displaystyle h_{i}}$ del livello ${\displaystyle i}$ dipende dall'output nascosto del livello precedente ${\displaystyle {\vec {h}}_{i}=f(W{\vec {h}}_{i-1}+{\vec {b}})}$.

Possiamo semplificare la discussione trascurando estremamente la funzione non lineare ${\displaystyle f}$, bias ${\displaystyle {\vec {b}}}$ e notando che la matrice dei pesi (${\displaystyle W}$) è sempre lo stesso. In questo caso, l'output finale è solo: ${\displaystyle {\vec {h}}_{n}=W^{n}{\vec {h}}_{0},}$

dove ${\displaystyle {\vec {h}}_{0}}$ è l'input iniziale alla rete. Se ${\displaystyle W=Q\lambda Q^{T}}$ può essere diagonalizzato, allora (a causa di ${\displaystyle W^{n}=Q\lambda ^{n}Q^{T}}$) è chiaro che gli autovalori minori di 1 decadono esponenzialmente con profondità n mentre gli autovalori maggiori di 1 esplodono in modo esponenziale con profondità n.^[6]

Il problema può essere affrontato usando differenti funzioni di attivazione, ad esempio funzioni rettificate come ReLU,^[7] usando differenti algoritmi di addestramento, ad esempio Rprop, che dipende solo dal segno del gradiente e non dalla sua norma,^[8] oppure usando metodi che non dipendono dal gradiente per l'ottimizzazione dei parametri, come algoritmi genetici e particle swarm optimization,^[9] il cui costo può diventare tuttavia proibitivo nel caso di reti con un numero molto elevato di parametri.

Rispetto al periodo in cui il problema è stato scoperto, la scomparsa del gradiente è stata parzialmente mitigata con il passare del tempo grazie all'incremento significativo della potenza di calcolo a disposizione, specialmente grazie alla transizione da CPU a GPGPU per l'addestramento dei modelli, anche se ciò non rappresenta di per sé un'effettiva soluzione del problema.^[10][11]

Un metodo proposto per contrastare la cancellazione del gradiente nelle reti profonde è quello di eseguire l'addestramento con un approccio multilivello, addestrando i singoli livelli separatamente e poi assemblandoli, e usando la retropropagazione sull'intera rete per rifinire l'addestramento. Jürgen Schmidhuber propose di addestrare i singoli livelli in maniera non supervisionata, in modo che apprendano una rappresentazione compressa del proprio input.^[12] Geoffrey Hinton propose nel 2006 le reti deep belief, che modellano l'apprendimento della distribuzione di una rappresentazione ad alto livello tramite più livelli di variabili latenti. Ciascun livello è modellato da una macchina di Boltzmann ristretta e, se addestrato correttamente, garantisce un aumento del limite inferiore della log-verosimiglianza. Quando un numero sufficiente di livelli è stato addestrato, la rete può essere anche usata come modello generativo, ottenendo un nuovo campione a partire dai valori delle funzioni di attivazione del livello più alto.^[11] Tale modello è utile per l'estrazione di caratteristiche da dati strutturati ad alta dimensionalità.^[13]

Per quanto riguarda le reti neurali ricorsive, anch'esse affette dalla scomparsa del gradiente, che ne riduce la capacità di apprendere relazioni a lungo termine, il settore venne rivoluzionato nel 1997 con l'introduzione, da parte di Sepp Hochreiter e Jürgen Schmidhuber, dell'architettura long-short term memory (LSTM).^[14] Nelle reti LSTM lo stato del modello si propaga nel tempo senza attraversare funzioni non lineari, prevenendo la cancellazione o esplosione del gradiente.^[15] Le reti LSTM hanno ottenuto notevoli risultati in molti problemi inerenti sequenze temporali, come il riconoscimento della scrittura o l'elaborazione del linguaggio naturale.^[16][17]

Le reti neurali residuali permettono di contrastare la scomparsa del gradiente in reti molto profonde, grazie all'aggiunta di connessioni scorciatoia che permettono a una breve sequenza di livelli di imparare non semplicemente la funzione obiettivo, ma il suo residuo ottenuto sottraendo la funzione identità.^[18][19]

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