Nell'analisi dei sistemi dinamici , un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un'equazione lineare , e che quindi soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. Le equazioni differenziali che descrivono tale classe di sistemi dinamici sono particolarmente semplici, e possono essere frequentemente risolte in modo esatto.
Un sistema dinamico è un concetto astratto che si utilizza per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Viene modellizzato con una funzione Z {\displaystyle \mathbf {Z} } che, nel dominio del tempo , ad una sollecitazione u i n ( t ) {\displaystyle \mathbf {u} _{in}(t)} fornisce una risposta u o u t ( t ) {\displaystyle \mathbf {u} _{out}(t)} :
u o u t ( t ) = Z ( u i n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {u} _{out}(t)=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}(t))} I sistemi lineari sono soggetti al principio di sovrapposizione, ovvero un sistema è lineare se valgono le seguenti proprietà:
Z ( u i n 1 + u i n 2 ) = Z ( u i n 1 ) + Z ( u i n 2 ) ∀ u i n 1 , u i n 2 {\displaystyle \mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}}+\mathbf {u} _{in_{2}})=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}})+\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{2}})\qquad \forall \mathbf {u} _{in_{1}},\mathbf {u} _{in_{2}}} Z ( c u i n ) = c Z ( u i n ) c ∈ R {\displaystyle \mathbf {Z} (c\mathbf {u} _{in})=c\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in})\qquad c\in \mathbb {R} } Una classe particolarmente importante di sistemi dinamici lineari è quella dei sistemi tempo-invarianti .
Un sistema dinamico è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} e dalle variabili di ingresso u ( t ) {\displaystyle \mathbf {u} (t)} . Viene descritto dalla variazione del vettore colonna di stato x {\displaystyle \mathbf {x} } , ambientato in uno spazio vettoriale di dimensione n {\displaystyle n} detto spazio delle fasi , secondo le equazioni matriciali:
d x ( t ) d t = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)} dove y ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)} è l'uscita o evoluzione. Lo stato x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} è un vettore di dimensione n {\displaystyle n} , l'ingresso u ( t ) {\displaystyle \mathbf {u} (t)} ha dimensione q {\displaystyle q} , mentre y ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)} ha dimensione p {\displaystyle p} ; sono moltiplicati per le matrici A {\displaystyle A} matrice di dimensione n × n {\displaystyle n\times n} , B {\displaystyle B} matrice di dimensione n × q {\displaystyle n\times q} , C {\displaystyle C} matrice di dimensione p × n {\displaystyle p\times n} e D {\displaystyle D} matrice di dimensione p × q {\displaystyle p\times q} .
Nel caso di un sistema dinamico a tempo discreto l'equazione ha la forma:
x ( n + 1 ) = A ( n ) x ( n ) + B ( n ) u ( n ) {\displaystyle \mathbf {x} (n+1)=A(n)\mathbf {x} (n)+B(n)\mathbf {u} (n)} y ( n ) = C ( n ) x ( n ) + D ( n ) u ( n ) {\displaystyle \mathbf {y} (n)=C(n)\mathbf {x} (n)+D(n)\mathbf {u} (n)} con n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } .
Una tecnica utilizzata per studiare un problema non lineare x ˙ = f ( x ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t))} nelle vicinanze di un punto di equilibrio è quella di approssimarlo ad un sistema lineare z ˙ = J f ( x 0 ) ⋅ z ( t ) {\displaystyle {\dot {z}}=J_{f}(x_{0})\cdot z(t)} in un intorno del punto di equilibrio tramite la matrice jacobiana J f {\displaystyle J_{f}} di f {\displaystyle f} . A seconda del comportamento del sistema (a seconda del determinante di J f {\displaystyle J_{f}} ) l'equilibrio è classificato come stabile, asintoticamente stabile o instabile. Un sistema stazionario (o tempo invariante) è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo. Viene descritto da un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti:
{ d x ( t ) d t = A x ( t ) + B u ( t ) y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)\end{matrix}}\right.\,} Si tratta di una classe di problemi particolarmente studiata e della quale sono state sviluppate molte tecniche di analisi; molte sono ad esempio basate sulla funzione di trasferimento e sul formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali e in spazio di stato .
Talvolta si sceglie di rappresentare il sistema soltanto attraverso la variazione del suo stato a partire da uno stato iniziale x ( t = 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} (t=0)} , ovvero con una relazione del tipo:
d d t x ( t ) = F ( t ) ⋅ x ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F(t)\cdot \mathbf {x} (t)} x 0 = x ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\mathbf {x} (0)} Se il vettore iniziale x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} è allineato con un autovettore destro r k {\displaystyle \mathbf {r} _{k}} di F {\displaystyle F} , allora:
d d t x ( t ) = F ⋅ r k = λ k r k {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F\cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}} con λ k {\displaystyle \lambda _{k}} l'autovalore corrispondente. La soluzione è:
x ( t ) = r k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}} come si verifica per sostituzione.
Se F {\displaystyle F} è diagonalizzabile , ogni vettore x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} in R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} può essere scritto come combinazione lineare di autovettori destro r k {\displaystyle \mathbf {r} _{k}} e sinistro l k {\displaystyle \mathbf {l} _{k}} di F {\displaystyle F} :
x 0 = ∑ k = 1 N ( l k , x 0 ) r k {\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k},\mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}} dove ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)} è il prodotto scalare che fornisce i coefficienti. Dunque, la soluzione generale x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} è la combinazione lineare:
x ( t ) = ∑ k = 1 n ( l k ⋅ x 0 ) r k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}} Dato il sistema in due dimensioni:
d d t x ( t ) = A x ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)} il polinomio caratteristico ha la forma:
det ( A − λ I ) = λ 2 − τ λ + Δ = 0 {\displaystyle \det(A-\lambda I)=\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0} con τ {\displaystyle \tau } la traccia e Δ {\displaystyle \Delta } il determinante di A {\displaystyle A} . Le radici λ n {\displaystyle \lambda _{n}} sono gli autovalori di A {\displaystyle A} , ed hanno la forma:
λ 1 = τ + τ 2 − 4 Δ 2 λ 2 = τ − τ 2 − 4 Δ 2 {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}\qquad \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}} Si nota che Δ = λ 1 λ 2 {\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}} e τ = λ 1 + λ 2 {\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}} , sicché se Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} gli autovalori hanno segno opposto ed il punto fisso è un punto di sella. Se invece Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} gli autovalori hanno lo stesso segno, e quindi se τ > 0 {\displaystyle \tau >0} sono entrambi positivi (ed il punto è instabile) mentre se τ < 0 {\displaystyle \tau <0} sono entrambi negativi (ed il punto è stabile).
Un circuito RC è formato da un generatore di tensione che fornisce un segnale di ingresso V i n ( t ) {\displaystyle V_{in}(t)} e da un resistore R {\displaystyle R} in serie ad un condensatore di capacità C {\displaystyle C} . La legge di Kirchhoff delle tensioni per la maglia è:
R ⋅ i ( t ) + V o u t ( t ) = V i n ( t ) {\displaystyle R\cdot i(t)+V_{out}(t)=V_{in}(t)} Usando la relazione caratteristica del condensatore la corrente che scorre nel circuito è:
i ( t ) = C d d t V o u t ( t ) {\displaystyle i(t)=C{\frac {d}{dt}}V_{out}(t)} si ha sostituendo:
R C d d t V o u t + V o u t = V i n {\displaystyle RC{\frac {d}{dt}}V_{out}+V_{out}=V_{in}} Si tratta di un'equazione differenziale di ordine 1 con costante di tempo τ = R C {\displaystyle \tau =RC} .
(EN ) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms , Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4 . (EN ) Hespanha,J.P., Linear System Theory , Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9 . E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi , Edizioni Libreria Progetto, Padova , 2003 . A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni , Pitagora Editrice, Bologna , 1998 .