Statistica d'ordine

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Sia ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ una distribuzione di un carattere ${\displaystyle X}$ quantitativo oppure qualitativo ordinabile (ossia le cui modalità possano essere ordinate in base a qualche criterio), rilevato su ${\displaystyle n}$ unità statistiche. Indichiamo con ${\displaystyle X_{(1)}}$ la modalità minima secondo l'ordine dato, con ${\displaystyle X_{(2)}}$ quella che descrive la modalità successiva in ordine crescente rispetto all'ordine dato e così via. Ciascun indice ${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}}$ viene detto statistica d'ordine.

In teoria delle probabilità, date ${\displaystyle n}$ variabili aleatorie ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$ si possono definire le statistiche d'ordine ${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)},}$ che sono ancora variabili aleatorie, ordinando le realizzazioni delle variabili ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$ in ordine crescente.

Se le variabili ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ sono indipendenti ed identicamente distribuite, è possibile determinare esplicitamente la funzione di ripartizione di una statistica d'ordine come funzione delle funzioni di ripartizione delle variabili non ordinate.

La statistica d'ordine la cui funzione di ripartizione è la più intuitiva è quella che identifica la variabile aleatoria dell'insieme la cui determinazione avrà il valore massimo tra tutte le determinazioni, in formule

${\displaystyle X_{(n)}=\max\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.}$

Infatti si ha che

${\displaystyle X_{(n)}\leq x\Leftrightarrow X_{1}\leq x,\ldots ,X_{n}\leq x}$

e di conseguenza

${\displaystyle F_{X_{(n)}}=P(X_{(n)}\leq x)=P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{n}\leq x)}$

e visto che le variabili sono indipendenti ed identicamente distribuite si ha:

${\displaystyle F_{X_{(n)}}=P(X_{(n)}\leq x)=P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{n}\leq x)=P(X_{1}\leq x)\cdots P(X_{n}\leq x)=\prod _{i=1}^{n}{F(x)}=F(x)^{n},}$

dove ${\displaystyle F(x)}$ è l'identica funzione di ripartizione di ogni variabile dell'insieme. Analogamente si può determinare la funzione di ripartizione di ${\displaystyle F_{X_{(1)}}}$, notando che l'evento complementare è che tutte le variabili aleatorie abbiano valore maggiore di ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle F_{X_{(1)}}=1-P(X_{1}>x,\ldots ,X_{n}>x)=1-P(X_{1}>x)\cdots P(X_{n}>x)=1-\prod _{i=1}^{n}{P(X_{i}>x)}=1-\prod _{i=1}^{n}{[1-F(x)]}=1-[1-F(x)]^{n}.}$

Per determinare invece la funzione di ripartizione di statistiche d'ordine differenti dal minimo e dal massimo, bisogna ricorrere sempre a delle elaborazioni di carattere logico-insiemistico sugli eventi, per esempio ${\displaystyle X_{(3)}\leq x}$ se e solo se il numero di variabili aleatorie la cui determinare è minore o uguale a ${\displaystyle x}$ è almeno 3.

Se volessimo calcolare le probabilità che il numero di variabili aleatorie la cui determinazione sarà minore o uguale a ${\displaystyle x}$ sia esattamente 3, si dovrebbe far ricorso ad una variabile aleatoria binomiale ${\displaystyle B}$ di parametri ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle p=F(x)}$, dove ${\displaystyle n}$ è il numero di variabili aleatorie dell'insieme. Quindi si avrebbe che questa probabilità coincide con

${\displaystyle P(B=3)={\binom {n}{3}}F(x)^{3}[1-F(x)]^{n-3}.}$

Tuttavia, si vuole la probabilità ${\displaystyle P(B\geq 3)}$, che in generale ha la seguente espressione:

${\displaystyle P(B\geq 3)=\sum _{i=3}^{n}P(B=i).}$

Di conseguenza, per una generica statistica d'ordine:

${\displaystyle F_{X_{(r)}}(x)=P(B\geq r)=\sum _{i=r}^{n}P(B=i)=\sum _{i=r}^{n}{\binom {n}{i}}F(x)^{i}[1-F(x)]^{n-i}.}$

• G. Leti (1983): Statistica descrittiva, Bologna, Il Mulino, ISBN 88-15-00278-2.

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• (EN) Eric W. Weisstein, Statistica d'ordine, su MathWorld, Wolfram Research.

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