Teorema di Rellich-Kondrakov
In matematica, il teorema di Rellich-Kondrachov è un risultato relativo all'immersione compatta in spazi di Sobolev. Il nome del teorema è dovuto a Franz Rellich e Vladimir Iosifovich Kondrashov: Rellich mostrò il teorema in spazi , mentre Kondrashov fornì il caso di .
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]Sia un dominio lipschitziano aperto e limitato, e sia . Sia
allora
- se , lo spazio di Sobolev è immerso con continuità nello spazio Lp , ed è immerso con compattezza nello spazio , per ogni :
- se p=n, lo spazio di Sobolev è immerso con compattezza nello spazio , per ogni :
- se p>n, lo spazio di Sobolev è immerso con compattezza nello spazio :
Conseguenze
[modifica | modifica wikitesto]Dal momento che un'immersione è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è compatto, il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in possiede una sottosuccessione convergente in . Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come teorema "di selezione" di Rellich-Kondrakov.
Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la disuguaglianza di Poincaré, che afferma che per (dove soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza):
per qualche costante dipendente soltanto da p e dalla geometria del dominio , dove:
denota il valor medio di su .
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Evans, Lawrence C., Differential Equations, Partial, 2nd, American Mathematical Society, 2010, ISBN 0-8218-4974-3.
- (DE) Franz Rellich, Ein Satz über mittlere Konvergenz, in Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. 1930, 24 gennaio 1930, pp. 30-35, Zbl 56.0224.02.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Disuguaglianza di Sobolev (Teorema di immersione di Sobolev)
- Immersione continua
- Immersione compatta
- Operatore compatto
- Spazio di Sobolev
- Spazio Lp
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Rellich selection theorem, in PlanetMath.