Distribuzione di Dirichlet

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In teoria della probabilità la distribuzione di Dirichlet, spesso denotata con ${\displaystyle \operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})}$, è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da un vettore di numeri reali positivi ${\displaystyle \alpha }$, che generalizza la variabile casuale Beta nel caso multivariato. Prende il nome dal matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Ha come funzione di densità di probabilità

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}|\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})={\frac {\Gamma (\alpha )}{\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})\ldots \Gamma (\alpha _{k})}}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\ldots x_{k}^{\alpha _{k}-1},}$

dove ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}}$ e ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ sono numeri reali positivi tali che

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{k}=1.}$

Il suo valore atteso è

${\displaystyle E(X_{i})={\frac {\alpha _{i}}{\alpha }},}$

la moda è

${\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha -k}},\quad \alpha _{i}>1,}$

mentre la varianza è

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})={\frac {(\alpha -\alpha _{i})\alpha _{i}}{\alpha ^{2}(\alpha +1)}}.}$

Inoltre, per ogni coppia ${\displaystyle X_{i},X_{j}}$ con ${\displaystyle i\neq j}$, si ha che la covarianza è

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-{\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha ^{2}(\alpha +1)}}.}$

Se ${\displaystyle k=2}$ e ${\displaystyle X_{2}=1-X_{1}}$, allora ${\displaystyle X_{1}}$ è distribuita come una variabile casuale Beta ${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha _{1},\alpha _{2}).}$

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana la variabile casuale di Dirichlet è una distribuzione a priori coniugata della variabile casuale multinomiale in quanto se si applica alla

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}|\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k})=\operatorname {Multinomiale} _{k}(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k})}$

una distribuzione a priori delle ${\displaystyle \theta _{i}}$ corrispondente ad una variabile casuale di Dirichlet

${\displaystyle g(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k})=\operatorname {Dir} _{k}(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k}),}$

allora la distribuzione a posteriori delle ${\displaystyle \theta _{i}}$ è anch'essa una variabile casuale di Dirichlet, ma con i parametri incrementati dai valori osservati:

${\displaystyle g(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k}|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})=\operatorname {Dir} _{k}(\alpha _{1}+x_{1},\alpha _{2}+x_{2},\ldots ,\alpha _{k}+x_{k}).}$

Questo teorema può essere visto come una generalizzazione multivariata dell'equivalente teorema univariato, che coinvolge variabile casuale binomiale al posto della multinomiale e la variabile casuale Beta al posto della Dirichlet.

Se si hanno ${\displaystyle k}$ indipendenti variabili casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di variabili casuali dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

${\displaystyle Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} (\alpha _{i},1),}$

definendo la loro somma come

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{k}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} (\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i},1),}$

allora si ha che

${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{k})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{k}/V)\sim \operatorname {Dir_{k}} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}).}$

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su distribuzione di Dirichlet

• SciencesPo: pacchetto R che contiene funzioni per la simulazione di parametri della distribuzione Dirichlet.

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