シラッシの多面体

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シラッシの多面体
種別	穿孔多面体、七面体
面数	7つの六角形
辺数	21
頂点数	14
頂点形状	6,6,6
対称群	C1, [ ]+, (11)
双対多面体	チャーサールの多面体
特性	非凸
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シラッシの多面体（シラッシのためんたい、英: Szilassi polyhedron）は7つの六角形の面からなる、トーラスに同相な、凸でない多面体である。

シラッシの多面体の全ての面は、他のどの面とも一辺を共有している。よって、隣接する面を異なる色で塗るためには七色を要し、七色定理の下界値を与える。シラッシの多面体は180度回転対称の軸を1つ持ち、3対の面は合同である。対にならない残り1つの六角形は、この軸に関して垂直かつ180度回転対称である。14個の頂点と21本の辺は、トーラス表面へと埋め込まれたヒーウッド・グラフの形をしている。

数学の未解決問題

面の数が7より多く、全ての面同士が一辺を共有するような非凸多面体は存在するか？

四面体とシラッシの多面体は、全ての面同士が一辺を共有する多面体として（今のところ）知られているただ2つのものである。

もし f 枚の面を持つ多面体が h 個の穴を持つ曲面に埋め込まれていて、全ての面が他のどの面とも一辺を共有しているならば、オイラー標数の式を変形して $${\displaystyle h={\frac {(f-4)(f-3)}{12}}}$$ であることが導かれる。四面体は h = 0, f = 4 で、シラッシの多面体は h = 1, f = 7 でこの等式を満たす。

数式上、次に考えられるのは h = 6, f = 12 で、これは各面が十一角形で44個の頂点と66本の辺をもつ多面体になるだろう。しかしながら、そのような多面体が（単に抽象多面体（英語版）であるにとどまらず）幾何的に実現できるか否かは知られていない。一般には、この式が満たされるのは ${\displaystyle f\equiv 0,3,4,7{\pmod {12}}}$ のときに限られる。

シラッシの多面体の名は、1977年にこれを発見したハンガリーの数学者ラヨシュ・シラッシ（Lajos Szilassi）に由来する。その双対であるチャーサールの多面体はアーコシュ・チャーサール（Ákos Császár）が1949年に発見していたもので、こちらは7つの頂点、全ての頂点対を結ぶ21本の辺、14枚の三角形の面を持つ(Császár 1949)。チャーサールの多面体もシラッシの多面体と同様、トーラスと同相である。

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  展開図
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  各面を異なる色で表示した正射投影。ファイルを開くとマウスを左右に動かして模型を回転させられる。^[1]
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  回転するシラッシの多面体

• Császár, Ákos (1949), “A polyhedron without diagonals”, Acta Sci. Math. Szeged 13: 140–142 .
• Gardner, Martin (1978), “In Which a Mathematical Aesthetic is Applied to Modern Minimal Art”, Scientific American 239 (5): 22–32, doi:10.1038/scientificamerican1178-22 .
• Jungerman, M.; Ringel, Gerhard (1980), “Minimal triangulations on orientable surfaces”, Acta Mathematica 145 (1–2): 121–154, doi:10.1007/BF02414187 .
• Peterson, Ivars (2007), “A polyhedron with a hole”, MathTrek, Mathematical Association of America, http://www.maa.org/mathland/mathtrek_01_22_07.html .
• Szilassi, Lajos (1986), “Regular toroids”, Structural Topology 13: 69–80, http://www-iri.upc.es/people/ros/StructuralTopology/ST13/st13-06-a3-ocr.pdf 
• マーク・チャンバーランド 著、川辺治之 訳『ひとけたの数に魅せられて』岩波書店、2016年。ISBN 9784000058858。 

• Ace, Tom, The Szilassi polyhedron, http://www.minortriad.com/szilassi.html .
• Weisstein, Eric W. "Szilassi Polyhedron". mathworld.wolfram.com (英語).
• Szilassi Polyhedron – Papercraft model at CutOutFoldUp.com

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表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド（英語版） 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形