ポアンカレ群(ポアンカレぐん、英語: Poincaré group)とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元の非コンパクトリー群である。
ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。 等長変換においては内積が保存される。
ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。
ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。
- 並進
![{\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54e6a660c82e875bd14098f596e6a0b252b371b)
- ローレンツ変換
![{\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221879b9305a8c845b8261155c36f37c22e72918)
ここで、a, Λ は変換のパラメータである。
並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。 ミンコフスキー空間上の関数(スカラー場)φ(x) を考えると
となる。
ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。