平面 R 2 の原点に関して対称な凸集合が22 より大きい面積をもつならば、原点とは異なる整数点をもつ。 ミンコフスキーの定理 (英 : Minkowski's theorem )は凸体の中の格子点 の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキー によって証明され、二次形式 の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学 へと発展し、二次形式のほか、代数体 の単数 やイデアル類群 の性質の研究、ディオファントス近似 など数論の様々な領域に応用されている。
L を R n 上の格子とし、 d (L ) を L に対応する行列 の行列式 とする。 R n 内の、原点に関して対称で体積が 2 n d ( L ) {\displaystyle 2^{n}d(L)} より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる L 上の点を有する[ 1] 。
特に体積が 2n より大きい、原点に関して対称な R n 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。
R n の部分集合 S に対して V (S ) を S の体積とする。 まず、次のブリクフェルトの定理 (英語版 ) から証明する[ 2] 。
S を体積が d (L ) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり
v 1 − v 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}} となる v 1 , v 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S} がとれる。これは次のように証明できる。
L の基底 u 1 , u 2 , … , u n {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}} をとり
F = { a 1 u 1 + a 2 u 2 + ⋯ + a n u n : 0 ≤ a 1 , a 2 , … , a n < 1 } {\displaystyle F=\{a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {u} _{n}:0\leq a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}<1\}} をこの基底に対する L の基本領域とすると
V ( F ) = d ( L ) {\displaystyle V(F)=d(L)} が成り立つ。
v = b 1 u 1 + b 2 u 2 + ⋯ + b n u n {\displaystyle \mathbf {v} =b_{1}\mathbf {u} _{1}+b_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {u} _{n}} に対して
f ( v ) = ∑ i = 1 n ( b i − ⌊ b i ⌋ ) u i {\displaystyle f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-\lfloor b_{i}\rfloor )\mathbf {u} _{i}} を対応させる。 f は R n から F への写像で、
f ( v ) − v = ∑ i = 1 n ⌊ b i ⌋ u i ∈ L {\displaystyle f(\mathbf {v} )-\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}\lfloor b_{i}\rfloor \mathbf {u} _{i}\in L} が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、 f が S 上で単射 ならば V ( f ( S ) ) = V ( S ) {\displaystyle V(f(S))=V(S)} となるはずである。しかし f の像 は F に含まれるから
V ( S ) > d ( L ) = V ( F ) ≥ V ( f ( S ) ) {\displaystyle V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))} となる。よって f は S 上単射ではないので
f ( v 1 ) = f ( v 2 ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})=f(\mathbf {v} _{2})} となる点 v 1 , v 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S} がとれる。
f ( v 1 ) − v 1 , f ( v 2 ) − v 2 ∈ L {\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})-\mathbf {v} _{1},f(\mathbf {v} _{2})-\mathbf {v} _{2}\in L} だから
v 1 , v 2 ∈ S , v 2 − v 1 = r 2 − r 1 ∈ L {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S,\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\in L} である。
S を R n 内の、原点に関して対称で体積が 2 n d ( L ) {\displaystyle 2^{n}d(L)} より大きい凸集合とする。
T = 1 2 S = { 1 2 v : v ∈ S } {\displaystyle T={\frac {1}{2}}S=\left\{{\frac {1}{2}}\mathbf {v} :\mathbf {v} \in S\right\}} とおく。 V ( S ) > 2 n d ( L ) {\displaystyle V(S)>2^{n}d(L)} だから V ( T ) = V ( S ) / 2 n > d ( L ) {\displaystyle V(T)=V(S)/2^{n}>d(L)} なので ブリクフェルトの定理より
w 1 − w 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}} となる2点 w 1 , w 2 ∈ T {\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in T} がとれる。 v 1 = 2 w 1 , u = 2 w 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=2\mathbf {w} _{1},\mathbf {u} =2\mathbf {w} _{2}\in S} が成り立ち、 S は原点に関して対称だから v 2 = − u = − 2 w 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {u} =-2\mathbf {w} _{2}\in S} も成り立つ。 S は凸集合なので v = 1 2 ( v 1 + v 2 ) ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\in S} である。一方で
1 2 ( v 1 + v 2 ) = w 1 − w 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}} であるから S は原点とは異なる L 上の点 v {\displaystyle \mathbf {v} } を有する。
ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。
l i = ∑ j = 1 n a i j x j ( i = 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle l_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\qquad (i=1,2,\ldots ,n)} を n =r +2s 個の一次形式 とし、そのうち l 1 , l 2 , ..., l r は実係数を持ち、 l r +j と l r +s +j ( j = 1, 2, ..., s ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。
ここで k 1 , k 2 , ..., k r +s が実数で
k 1 k 2 ⋯ k r ( k r + 1 k r + 2 ⋯ k r + s ) 2 ≥ ( 2 π ) s | Δ | {\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}|\Delta |} を満たすならば、
| l i | ≤ k i ( i = 1 , 2 , … , r + s ) {\displaystyle |l_{i}|\leq k_{i}\qquad (i=1,2,\ldots ,r+s)} となる整数 x 1 , x 2 , ..., x n が存在する。
また k 1 , k 2 , ..., k r +s が実数で
k 1 k 2 ⋯ k r ( k r + 1 k r + 2 ⋯ k r + s ) 2 ≥ ( 4 π ) s n ! n n | Δ | {\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |} を満たすならば、
∏ i = 1 n | l i | ≤ | Δ | {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}|l_{i}|\leq |\Delta |} となる整数 x 1 , x 2 , ..., x n が存在する。
ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。 たとえばフェルマーの二平方定理 は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理 は4次元空間の超球体 内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる[ 3] 。
ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の(つまり s 対の共役対からなる)複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群 のそれぞれの類はノルムが
( 4 π ) s n ! n n | Δ | {\displaystyle \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |} を超えない(整)イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界 という。
上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる[ 4] 。 実際 p を 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} の形の素数とすると
t 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle t^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}} となる t がとれる(p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい)。
y ≡ t x ( mod p ) {\displaystyle y\equiv tx{\pmod {p}}} となる点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 全体は ( 1 , t ) , ( 0 , p ) {\displaystyle (1,t),(0,p)} を基底とする格子 L と一致し、 d ( L ) = p {\displaystyle d(L)=p} が成り立つ。 原点を中心とする半径 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} の開円盤は面積 2 π p > 4 p {\displaystyle 2\pi p>4p} の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} を含む。
b ≡ t a ( mod p ) {\displaystyle b\equiv ta{\pmod {p}}} であるから
a 2 + b 2 ≡ a 2 ( 1 + t 2 ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv a^{2}(1+t^{2})\equiv 0{\pmod {p}}} である。一方 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} は原点ではなく、かつ原点からの距離は 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} より小さいから
0 < a 2 + b 2 < 2 p {\displaystyle 0<a^{2}+b^{2}<2p} である。よって
p = a 2 + b 2 {\displaystyle p=a^{2}+b^{2}} が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。
^ Cassels (1997 , pp. 71–72, Chapter III.2.2, Theorem II), Nathanson (1996 , pp. 175–176, Chapter 6.2, Theorem 6.4) ^ Cassels (1997 , pp. 68–69, Chapter III.2, Theorem I), Nathanson (1996 , p. 175, Chapter 6.2, Lemma 6.1) ^ Cassels (1997 , pp. 98–102, Chapter III.7), Nathanson (1996 , pp. 177–179, Chapter 6.3) など ^ Cassels (1997 , p. 99, Chapter III.7.2) J. W. S. Cassels, (1959, 1971, 1997). An Introduction to the Geometry of Numbers . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-62035-5 . ISBN 978-3-642-62035-5 John Conway and Neil J. A. Sloane, (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-6568-7 . ISBN 978-1-4757-6568-7 Hancock, Harris (1964, 2005). Development of the Minkowski Geometry of Numbers, vol I, II . Dover (旧版 The MacMillan, 1939) Pascale Gruber and C. G. Lekkerkerker (1987). Geometry of Numbers . Elsevier. ISBN 9780080960234 Melvyn B. Nathanson, (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets (Graduate Texts in Math. 165) . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94655-9 Wolfgang M. Schmidt, (1980). Diophantine approximation (Lecture Notes in Math. 785) . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-38645-2 . ISBN 978-3-540-38645-2 Wolfgang M. Schmidt, (1991). Diophantine Approximations and Diophantine Equations (Lecture Notes in Math. 1467) . Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0098246 . ISBN 978-3-540-47374-9