円分体 (えんぶんたい、英 : cyclotomic field ) は、有理数 体に、1 の m ( > 2 ) {\displaystyle m(>2)} 乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) {\displaystyle \textstyle \zeta (\neq \pm 1)} を添加した代数体 である。円分体およびその部分体 のことを円体 ともいう。
以下において、特に断らない限り、 ζ n = e 2 π i / n {\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}} とする。
3 以上の整数 m に対して、円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の拡大次数 [ Q ( ζ m ) : Q ] {\displaystyle \textstyle [\mathbb {Q} (\zeta _{m}):\mathbb {Q} ]} は、 φ ( m ) {\displaystyle \textstyle \varphi (m)} である。但し、 φ ( n ) {\displaystyle \textstyle \varphi (n)} はオイラー関数 である。 任意の円分体は、ガロア拡大体 であり、ガロア群 は、アーベル群 である。 3 以上の整数 m に対して、 m = p 1 e 1 ⋯ p r e r {\displaystyle \textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}} ( p 1 , … , p r {\displaystyle \textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}} は、相異なる素数 、 e 1 , … , e r ≧ 1 ) {\displaystyle \textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)} と素因数分解 すると、 Q ( ζ m ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} は、 Q ( ζ p 1 e 1 ) , … , Q ( ζ p r e r ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p_{1}^{e_{1}}}),\ldots ,\ \mathbb {Q} (\zeta _{p_{r}^{e_{r}}})} の合成体 であり、 Gal ( Q ( ζ m ) / Q ) ≅ ( Z / m Z ) × ≅ ( Z / p 1 e 1 Z ) × × ⋯ × ( Z / p r e r Z ) × {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{m})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /p_{1}^{e_{1}}\mathbb {Z} )^{\times }\times \cdots \times (\mathbb {Z} /p_{r}^{e_{r}}\mathbb {Z} )^{\times }} が成立する。また、円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} で分岐する有理素数[注釈 1] は、 p 1 , … , p r {\displaystyle \textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}} に限る。 Q ( ζ m ) ∩ R = Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} である。この Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} を、最大実部分体 または実円分体 という。 一意分解整域 となる円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}} )[注釈 2] は、m が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。 特に、23 以上の素数 p に対しては、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} は一意分解整域でない。 類数 が 2 である円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}} ) は、m = 39, 56 だけである。 円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} に含まれる代数的整数 の集合は、 Z [ ζ m ] {\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} [\zeta _{m}]} である。 m を 3 以上の整数として、円分体を K = Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{m})} とする。
(1) m が素数のとき
K の判別式 は、 ( − 1 ) ( m − 1 ) / 2 m m − 2 {\displaystyle (-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}} である。
(2) m = p h {\displaystyle m=p^{h}} (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき
K の判別式は、 ε p p h − 1 ( h ( p − 1 ) − 1 ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}} である。但し、
ε = { − 1 ( p = h = 2 , or p ≡ 3 ( mod 4 ) ) , + 1 ( p = 2 , h ≧ 3 , or p ≡ 1 ( mod 4 ) ) . {\displaystyle \varepsilon ={\begin{cases}-1&(p=h=2,{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {4}}),\\+1&(p=2,\,h\geqq 3,{\mbox{ or }}p\equiv 1{\pmod {4}}).\end{cases}}} (3) m = p 1 e 1 ⋯ p r e r {\displaystyle \textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}} ( r ≧ 2 , p 1 , … , p r {\displaystyle \textstyle r\geqq 2,\ p_{1},\ldots ,\ p_{r}} は相異なる素数、 e 1 , … , e r ≧ 1 ) {\displaystyle \textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)} であるときには
円分体 Q ( ζ p i e i ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{e_{i}}})} の判別式を D i {\displaystyle D_{i}} とすると、 K の判別式は、
∏ i = 1 r D i φ ( m ) / φ ( p i e i ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{r}D_{i}^{\varphi (m)/\varphi (p_{i}^{e_{i}})}} である。
クロネッカー=ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)
K が有理数体上のアーベル拡大体 のとき、ある整数 m ≧ 3 {\displaystyle \textstyle m\geqq 3} が存在して、
K ⊂ Q ( ζ m ) {\displaystyle K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{m})} となる。 例えば、二次体 はアーベル拡大体であるので、クロネッカー=ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。
クロネッカー=ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体 にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢 である。
素数 p に対して、
x p + y p = z p {\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}} の左辺を、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} 上で分解すると、
( x + y ) ( x + ζ p y ) ⋯ ( x + ζ p p − 1 y ) = z p {\displaystyle (x+y)(x+\zeta _{p}y)\cdots (x+\zeta _{p}^{p-1}y)=z^{p}} となる。 ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的である ことが前提になっており、 p = 23 {\displaystyle p=23} のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、 p = 23 {\displaystyle p=23} (円分体の性質 にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。
クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。
クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数 と呼ばれる。
素数 p は、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の類数 を割り切らない。 正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。
クンマーの補題
素数 p が正則素数であれば、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε を、 ε ≡ a ( mod ( 1 − ζ p ) p ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon \equiv a\ (\operatorname {mod} \ (1-\zeta _{p})^{p})} となる有理整数 a が存在するようにとると、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε 0 {\displaystyle \textstyle \varepsilon _{0}} が存在して、 ε = ε 0 p {\displaystyle \textstyle \varepsilon =\varepsilon _{0}^{p}} と表される。
正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理 を参照のこと。
ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則 、第1補充法則 、第2補充法則 を示した[注釈 3] 。さらに、 Q ( ζ 3 ) , Q ( ζ 4 ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{3}),\ \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{4})} 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論 の結果を用いて、高木 、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。
以下において、p を奇素数とする。
円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の類数を h ( m ) {\displaystyle h(m)} 、最大実部分体 Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} の類数を h 2 ( m ) {\displaystyle h_{2}(m)} とすると、 h ( m ) = h 1 ( m ) h 2 ( m ) {\displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)} ( h 1 ( m ) {\displaystyle h_{1}(m)} は有理整数)と表すことができる。 このとき、 h 1 ( m ) {\displaystyle h_{1}(m)} を第1因子 または相対類数 、 h 2 ( m ) {\displaystyle h_{2}(m)} を第2因子 または実類数 という。
第1因子については、以下の様な性質がある。
素数 p に対して、p が h ( p ) {\displaystyle h(p)} を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。 つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。 この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、 p 2 {\displaystyle p^{2}} が、 ∑ j = 1 p − 1 j 2 k {\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{p-1}j^{2k}} を割り切る様な整数 k ( 1 ≦ k ≦ ( p − 3 ) / 2 ) {\displaystyle \textstyle (1\leqq k\leqq (p-3)/2)} が存在することである。 h 1 ( p ) {\displaystyle h_{1}(p)} が奇数であるならば、 h 2 ( p ) {\displaystyle h_{2}(p)} は奇数である。 クンマーは、第1因子の増大度に対して、 lim p → ∞ h 1 ( p ) / γ ( p ) = 1 {\displaystyle \textstyle \lim _{p\to \infty }h_{1}(p)/\gamma (p)=1} と予想した。 但し、 γ ( p ) = p ( p + 3 ) / 4 / ( 2 ( p − 3 ) / 2 π ( p − 1 ) / 2 ) {\displaystyle \textstyle \gamma (p)=p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi ^{(p-1)/2})} 。[注釈 4]
この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。
lim p → ∞ log ( h 1 ( p ) / γ ( p ) ) log p = 0 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {\log(h_{1}(p)/\gamma (p))}{\log p}}=0} 。 第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。
q を素数とし、 n > 1 {\displaystyle n>1} とする。 p = ( 2 q m ) 2 + 1 {\displaystyle p=(2qm)^{2}+1} が素数であるならば、 h 2 ( p ) > 2 {\displaystyle h_{2}(p)>2} である。 ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は h 2 ( p ) {\displaystyle h_{2}(p)} を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想 )。現在でも、この予想が正しいかは不明である。
円分体の類数を求めるには、 h ( m ) = h 1 ( m ) h 2 ( m ) {\displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)} より、第1因子と第2因子を求めればよい。[注釈 5]
第1因子 h 1 ( m ) = δ ( 2 m ) 1 2 φ ( m ) − 1 ∏ χ ∈ S ∑ n = 1 m − 1 χ ( n ) n {\displaystyle h_{1}(m)={\frac {\delta }{(2m)^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}}\prod _{\chi \in S}\sum _{n=1}^{m-1}\chi (n)n} 。 ここで、 δ = { 1 ( m ≢ 0 ( mod 4 ) ) , 1 2 ( m ≡ 0 ( mod 4 ) ) , {\displaystyle \delta ={\begin{cases}1&(m\not \equiv 0{\pmod {4}}),\\{\frac {1}{2}}&(m\equiv 0{\pmod {4}}),\end{cases}}} S は、 χ ( − 1 ) = − 1 {\displaystyle \chi (-1)=-1} を満たす、法 m に関する指標 の集合とする。 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。 h 1 ( p ) = 1 ( 2 p ) ( p − 3 ) / 2 | ∏ χ ∈ S ∑ k = 1 p − 1 χ ( k ) k | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}\left|\prod _{\chi \in S}\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)k\right|} 。 m が素数のとき、以下の様な式がある。 h 1 ( p ) = 1 ( 2 p ) ( p − 3 ) / 2 | G ( η ) G ( η 2 ) ⋯ G ( η p − 2 ) | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}|G(\eta )G(\eta ^{2})\cdots G(\eta ^{p-2})|} ここで、η は、1 の原始 p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根とし、 G ( X ) = ∑ j = 0 p − 2 g j X j {\displaystyle \textstyle G(X)=\sum _{j=0}^{p-2}g_{j}X^{j}} 。 但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 j = 0 , 1 , … , p − 2 {\displaystyle \textstyle j=0,1,\ldots ,p-2} に対して、 1 ≦ g j ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq g_{j}\leqq p-1} は、 g j ≡ g j ( mod p ) {\displaystyle \textstyle g^{j}\equiv g_{j}\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たす正整数とする。 p の倍数ではない整数 r に対して、 1 ≦ R ( r ) ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq R(r)\leqq p-1} を、 r ≡ R ( r ) ( mod p ) {\displaystyle \textstyle r\equiv R(r)\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たすようにとる。 また、 1 ≦ r ′ ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq r'\leqq p-1} を、 r r ′ ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle \textstyle rr'\equiv 1\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たすようにとる。 M p = ( R ( r s ′ ) ) r , s = 1 , 2 , … , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle M_{p}=(R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots ,(p-1)/2}} [注釈 6] とおくと、 h 1 ( p ) = 1 p ( p − 3 ) / 2 | det M p | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{p^{(p-3)/2}}}|\det M_{p}|} である。 第2因子 h 2 ( m ) = 2 1 2 φ ( m ) − 1 R ∏ χ ∈ T ∑ n = 1 [ m − 1 2 ] χ ( n ) log | 1 − ζ m n | {\displaystyle h_{2}(m)={\frac {2^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}{R}}\prod _{\chi \in T}\sum _{n=1}^{[{\frac {m-1}{2}}]}\chi (n)\log |1-\zeta _{m}^{n}|} 。 ここで、R は、 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の単数基準 、T は、 χ ( − 1 ) = 1 {\displaystyle \chi (-1)=1} を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。 h 2 ( p ) = 2 ( p − 3 ) / 2 R ∏ k = 1 ( p − 3 ) / 2 | ∑ j = 0 ( p − 3 ) / 2 η 2 k j log | 1 − ζ p g j | | {\displaystyle h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}\prod _{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum _{j=0}^{(p-3)/2}\eta ^{2k^{j}}\log |1-\zeta _{p}^{g^{j}}|\right|} 。 ここで、η は、1 の原始 p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。 m が素数のとき、以下の様な式がある。 k = 2 , 3 , … , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle \textstyle k=2,3,\ldots ,(p-1)/2} に対して、 δ k = ( 1 − ζ p k ) ( 1 − ζ p − k ) ( 1 − ζ ) ( 1 − ζ − 1 ) {\displaystyle \delta _{k}={\sqrt {\textstyle {\frac {(1-\zeta _{p}^{k})(1-\zeta _{p}^{-k})}{(1-\zeta )(1-\zeta ^{-1})}}}}} [注釈 7] とおく。 g を法 p に関する原始根とし、 δ = δ g {\displaystyle \delta =\delta _{g}} とおく。 また、σ を、 σ ( ζ p ) = ζ p g {\displaystyle \textstyle \sigma (\zeta _{p})=\zeta _{p}^{g}} を満たす、 Gal ( Q ( ζ p ) / Q ) {\displaystyle \textstyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )} の生成元とする。 M = ( log σ i + j ( δ ) ) i , j = 0 , 1 , … , ( p − 5 ) / 2 {\displaystyle M=(\log \sigma ^{i+j}(\delta ))_{i,j=0,1,\ldots ,(p-5)/2}} とおくと、 h 2 ( p ) = 2 ( p − 3 ) / 2 R | det M | {\displaystyle h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}|\det M|} 。 但し、R は、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数基準とする。 ^ 有理整数である素数のこと。 ^ m = 4 k + 2 {\displaystyle m=4k+2} としたとき、 Q ( ζ m ) = Q ( ζ 2 k + 1 ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})=\mathbb {Q} (\zeta _{2k+1})} であるので、 m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle m\not \equiv 2{\pmod {4}}} としてよい。 ^ この証明は、ガウスによる4番目の証明である。(1805年8月30日に証明) ^ h 1 ( p ) = γ ( p ) ∏ χ ∈ S L ( 1 , χ ) {\displaystyle \textstyle h_{1}(p)=\gamma (p)\prod _{\chi \in S}L(1,\chi )} が成立するので、ディリクレのL関数 の積が 1 に収束することと同値である。 ^ 実際は、円分体に対して、直接類数公式 で求めるのが普通である。 ^ マイレ(Maillet)の行列 という。 ^ 各 δk は、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の正の実数である単数であり、クンマー単数 または円単数 と呼ばれる。 足立恒雄 『フェルマーの大定理 整数論の源流』筑摩書房 〈ちくま学芸文庫 ア24‐1 Math & Science〉、2006年9月。ISBN 978-4-480-09012-6 。 ガウス, J. C. F. 著、高瀬正仁 訳『ガウス数論論文集』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 カ33-1 Math & Science〉、2012年7月。ISBN 978-4-480-09474-2 。 ガウス, J. C. F. 著、高瀬正仁 訳『ガウスの《数学日記》』日本評論社、2013年8月。ISBN 978-4-535-78584-7 。 河田敬義 『数論 古典数論から類体論へ』岩波書店、東京、1992年4月。ISBN 978-4-00-005516-1 。 倉田令二朗『平方剰余の相互法則 ガウスの全証明』日本評論社、東京、1992年10月。ISBN 978-4-535-78192-4 。 高木貞治 『代数的整数論』(第2版)岩波書店、東京、1971年4月。ISBN 978-4-00-005630-4 。 高瀬正仁『ガウスの数論 わたしのガウス』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 タ31-2〉、2011年3月。ISBN 978-4-480-09366-0 。 ノイキルヒ, J. 著、梅垣敦紀 訳『代数的整数論』足立恒雄(監修)、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年12月。ISBN 978-4-431-70901-5 。 ボレビッチ, Z. I.、シャハレビッチ, I. R. 著、佐々木義雄 訳『整数論』 (下)、吉岡書店、京都〈数学叢書〉、1972年。 リーベンボイム, P. 著、吾郷博顕 訳『フェルマーの最終定理 13講』(第2版)共立出版、東京、1989年2月。ISBN 978-4-320-01415-2 。 Masley, J. M. (1975), “Solution of the class number two problem for cyclotomic fields”, Invent. Math. 28 : 243-244, MR 369319 Zbl 0296.12003 doi :10.1007/BF01425560