数学 において、次元論 (じげんろん、英 : dimension theory )は可換環論 の一分野であり、可換環 の次元 の概念や、より一般にスキーム のそれを研究する分野である。
理論はアフィン環、すなわち体上有限生成多元環である整域に対しては、はるかに単純である。ネーターの正規化定理 (英語版 ) により、そのような環のクルル次元は基礎体上の超越次数 であり、理論は代数幾何学と並行して進む。代数多様体の次元 (英語版 ) を参照。一般的な理論は幾何学的でなくなる傾向がある。特に、ネーター的でない環に対して知られていることはほとんどない。(Kaplansky の commutative rings は非ネーターのケースに詳しい。)今日、標準的なアプローチは本質的にブルバキとEGAのアプローチである。これは次数付き加群 を本質的に使い、他のものの中で射影多様体の次数の一般化である重複度 の役割を強調する。このアプローチでは、クルルの単項イデアル定理 は系として現れる。
この記事を通して、 dim {\displaystyle \operatorname {dim} } は環のクルル次元 を表し、 ht {\displaystyle \operatorname {ht} } は素イデアルのクルル次元 (すなわちその素イデアルにおける局所化のクルル次元)を表す。
R をネーター環または付値環 とする。すると
dim R [ x ] = dim R + 1 {\displaystyle \operatorname {dim} R[x]=\operatorname {dim} R+1} である。R がネーター環であるときは、これは下記の基本定理(特に、クルルの単項イデアル定理 )から従う。しかしそれはまたより精密な結果からも従う。R の任意の素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して以下が成り立つ。
ht ( p R [ x ] ) = ht ( p ) {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R[x])=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})} . p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に縮小する R [ x ] {\displaystyle R[x]} の任意の素イデアル q ⊋ p R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R[x]} に対して、 ht ( q ) = ht ( p ) + 1 {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1} これは基本的な環論の範囲で証明できる(cf. Kaplansky, commutative rings)。ところで、これは特に次のことを言っている。 Spec R [ x ] → Spec R {\displaystyle \operatorname {Spec} R[x]\to \operatorname {Spec} R} の各ファイバーにおいて、長さ ≥ 2 {\displaystyle \geq 2} の素イデアルの列は存在しえない。
アルティン環(例えば体)の次元は 0 なので、帰納的に次の公式を得る。アルティン環 R に対して
dim R [ x 1 , … , x n ] = n . {\displaystyle \operatorname {dim} R[x_{1},\dots ,x_{n}]=n.} ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} をネーター局所環とし、I を m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素イデアル (すなわち m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} のあるベキと m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の間にある)とする。 F ( t ) {\displaystyle F(t)} を associated graded ring gr I R = ⊕ 0 ∞ I n / I n + 1 {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}} のポワンカレ級数 とする。つまり、
F ( t ) = ∑ 0 ∞ ℓ ( I n / I n + 1 ) t n {\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}} ただし ℓ {\displaystyle \ell } は(アルティン環 ( gr I R ) 0 = R / I {\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I} 上の)加群の長さ を意味する。 x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} が I を生成するとすれば、それらの I / I 2 {\displaystyle I/I^{2}} における像は次数 1 をもち gr I R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} を R / I {\displaystyle R/I} -多元環として生成する。ヒルベルト・セールの定理 によって、F は位数 d ≤ s {\displaystyle d\leq s} の極を t = 1 {\displaystyle t=1} にちょうど1つもつ有理関数である。
( 1 − t ) − d = ∑ 0 ∞ ( d − 1 + j d − 1 ) t j {\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j}} , であるので、 F ( t ) = ( 1 − t ) d F ( t ) ( 1 − t ) − d {\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}} における t n {\displaystyle t^{n}} の係数は
∑ 0 N a k ( d − 1 + n − k d − 1 ) = ( 1 − t ) d F ( t ) | t = 1 n d − 1 d − 1 ! + O ( n d − 2 ) {\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t)|_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2})} の形であることがわかる。つまり、 ℓ ( I n / I n + 1 ) {\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})} は n の次数 d − 1 {\displaystyle d-1} の多項式 P {\displaystyle P} である。P は gr I R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} のヒルベルト多項式 と呼ばれる。
d ( R ) = d {\displaystyle d(R)=d} とおく。また、 δ ( R ) {\displaystyle \delta (R)} を R の m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素イデアルを生成できる、R の元の最小個数とする。我々の目標は次の基本定理 を証明することである。
δ ( R ) = d ( R ) = dim R {\displaystyle \delta (R)=d(R)=\dim R} s を δ ( R ) {\displaystyle \delta (R)} であるようにとることができるから、既に上記から δ ( R ) ≥ d ( R ) {\displaystyle \delta (R)\geq d(R)} である。次に d ( R ) ≥ dim R {\displaystyle d(R)\geq \operatorname {dim} R} を d ( R ) {\displaystyle d(R)} についての帰納法で証明する。 p 0 ⊊ ⋯ ⊊ p m {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}} を R の素イデアルの列とする。 D = R / p 0 {\displaystyle D=R/{\mathfrak {p}}_{0}} とし、x を 0 でも単元でもない D の元とする。x は零因子でないので、完全列
0 → D → x D → D / x D → 0 {\displaystyle 0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0} がある。さて、Hilbert-Samuel 多項式の次数のboundによって d ( D ) > d ( D / x D ) ≥ d ( R / p 1 ) {\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})} である。(これは本質的にアルティン・リースの補題 から従う。ステートメントと証明はヒルベルト・サミュエル関数 を参照。) R / p 1 {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}} において、列 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} は長さ m − 1 {\displaystyle m-1} の列になり、したがって、帰納法の仮定と再び次数の評価によって、
m − 1 ≤ dim ( R / p 1 ) ≤ d ( R / p 1 ) ≤ d ( D ) − 1 ≤ d ( R ) − 1 {\displaystyle m-1\leq \operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1} である。主張が従う。 dim R ≥ δ ( R ) {\displaystyle \operatorname {dim} R\geq \delta (R)} を示すことが残っている。正確には、次のことを示す。
補題 : R は、任意の i に対して ( x 1 , … , x i ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i})} を含む任意の素イデアルの高さは ≥ i {\displaystyle \geq i} であるような元 x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} を含む。 (注意:このとき ( x 1 , … , x s ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{s})} は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素である。)証明は省略する。例えば、Atiyah–MacDonald に証明がある。しかし証明は個人でもできる。アイデアは prime avoidance を使うことだ。
( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} をネーター局所環とし、 k = R / m {\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}} とおく。すると、
dim R ≤ dim k m / m 2 {\displaystyle \operatorname {dim} R\leq \operatorname {dim} _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} , なぜならば m / m 2 {\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} の基底は中山の補題によって m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の生成集合に持ちあがるからである。等号が成り立つならば、R は正則局所環 と呼ばれる。 dim R ^ = dim R {\displaystyle \operatorname {dim} {\widehat {R}}=\operatorname {dim} R} , なぜならば gr R = gr R ^ {\displaystyle \operatorname {gr} R=\operatorname {gr} {\widehat {R}}} . (クルルの単項イデアル定理 )ネーター環において元 x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} で生成されるイデアルの高さは高々 s である。逆に、高さ s の素イデアルは s 個の元で生成できる。(証明: p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} をそのようなイデアルの上にある極小素イデアルとする。すると s ≥ dim R p = ht p {\displaystyle s\geq \operatorname {dim} R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}} である。逆は基本定理の証明の途中で示されている。) A → B {\displaystyle A\to B} がネーター局所環の射であれば、
dim B / m A B ≥ dim B − dim A {\displaystyle \operatorname {dim} B/{\mathfrak {m}}_{A}B\geq \operatorname {dim} B-\operatorname {dim} A} である[ 1] 。等号は A → B {\displaystyle A\to B} が平坦 であれば、あるいはもっと一般的に上昇定理 が成り立てば、成り立つ。(ここで、 B / m A B {\displaystyle B/{\mathfrak {m}}_{A}B} は特別ファイバー (英語版 ) と考える。)
証明: x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} が m A {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}} -準素イデアルを生成するとし、 y 1 , … , y m {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}} をそれらの像が m B / m A B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B} -準素イデアルを生成するようなものとする。するとある s について m B s ⊂ ( y 1 , … , y m ) + m A B {\displaystyle {{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B} である。両辺を何乗かすることにより、 m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}} のあるベキが ( y 1 , … , y m , x 1 , … , x n ) {\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})} に含まれることがわかる。すなわち、後者のイデアルは m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}} -準素である。したがって、 m + n ≥ dim B {\displaystyle m+n\geq \dim B} である。等号については going-down property から直ちに従う。
R がネーター局所環であれば、
dim R [ x ] = dim R + 1 {\displaystyle \dim R[x]=\dim R+1} . 証明: p 0 ⊊ p 1 ⊊ ⋯ ⊊ p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}} が R の素イデアルの鎖であれば、 p i R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}R[x]} は R [ x ] {\displaystyle R[x]} の素イデアルの鎖であるが、 p n R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{n}R[x]} は極大イデアルではない。したがって、 dim R + 1 ≤ dim R [ x ] {\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]} である。逆向きの不等号を言うために、 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} を R [ x ] {\displaystyle R[x]} の極大イデアルとし、 p = R ∩ q {\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {q}}} とする。 R [ x ] / p R [ x ] = ( R / p ) [ x ] {\displaystyle R[x]/{\mathfrak {p}}R[x]=(R/{\mathfrak {p}})[x]} は単項イデアル整域であるので、前の不等式によって 1 + dim R ≥ 1 + dim R p ≥ dim R [ x ] q {\displaystyle 1+\operatorname {dim} R\geq 1+\operatorname {dim} R_{\mathfrak {p}}\geq \operatorname {dim} R[x]_{\mathfrak {q}}} を得る。 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} は任意だったので、このことより 1 + dim R ≥ dim R [ x ] {\displaystyle 1+\operatorname {dim} R\geq \operatorname {dim} R[x]} である。
R をネーター環 とする。有限 R -加群 M の射影次元 は R の射影分解 の最短の長さ(無限でもよい)であり、 pd R M {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M} と表記される。 g l . d i m R = sup { pd R M ∣ M is a finite module } {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M\mid M{\text{ is a finite module}}\}} とおく。これは R の大域次元 と呼ばれる。
R は局所環で、その剰余体を k とする。
補題 ― pd R k = g l . d i m R {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R} (無限でもよい).
証明: 次のことを主張する。任意の有限 R -加群 M に対して、
pd R M ≤ n ⇔ Tor n + 1 R ( M , k ) = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\leq n\Leftrightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0} . dimension shifting (cf. 下記のセールの定理の証明)によって、 n = 0 {\displaystyle n=0} に対してこれを証明すれば十分である。するとしかし、平坦性の局所的判定法 によって、 Tor 1 R ( M , k ) = 0 ⇒ M flat ⇒ M free ⇒ pd R ( M ) ≤ 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Rightarrow M{\text{ free }}\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}(M)\leq 0} である。今、
g l . d i m R ≤ n ⇒ pd R k ≤ n ⇒ Tor n + 1 R ( − , k ) = 0 ⇒ pd R − ≤ n ⇒ g l . d i m R ≤ n {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim} R\leq n} であるので、証明が完了する。
補題 ― R 1 = R / f R {\displaystyle R_{1}=R/fR} とし、f を R の非零因子とする。f が有限加群 M 上非零因子であれば、 pd R M ≥ pd R 1 ( M ⊗ R 1 ) {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\geq \operatorname {pd} _{R_{1}}(M\otimes R_{1})} .
証明: pd R M = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0} であれば、M は R -自由でありしたがって M ⊗ R 1 {\displaystyle M\otimes R_{1}} は R 1 {\displaystyle R_{1}} -自由である。次に pd R M > 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0} と仮定する。すると、K がある自由加群から M への全射の核であるとき、 pd R K = pd R M − 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1} である。したがって、帰納法により、 pd R M = 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1} の場合を考えれば十分である。このとき射影分解
0 → P 1 → P 0 → M → 0 {\displaystyle 0\to P_{1}\to P_{0}\to M\to 0} , が存在して、これより
Tor 1 R ( M , R 1 ) → P 1 ⊗ R 1 → P 0 ⊗ R 1 → M ⊗ R 1 → 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})\to P_{1}\otimes R_{1}\to P_{0}\otimes R_{1}\to M\otimes R_{1}\to 0} . しかし、 0 → R → f R → R 1 → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {f}{\to }}R\to R_{1}\to 0} を M でテンソルすることで、最初の項が消えることがわかる。それゆえ、 pd R ( M ⊗ R 1 ) {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})} は高々 1 である。
セールの定理 ― R が正則 ⇔ g l . d i m R < ∞ ⇔ g l . d i m R = dim R . {\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R<\infty \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R=\dim R.}
証明[ 2] : R が正則であれば、 k = R / ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle k=R/(f_{1},\dots ,f_{n})} と書ける、ただし f i {\displaystyle f_{i}} はパラメータの正則系である。有限加群の完全列 0 → M → f M → M 1 → 0 {\displaystyle 0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0} 、 f は極大イデアルのある元、 pd R M < ∞ {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty } によって、
0 = Tor i + 1 R ( M , k ) → Tor i + 1 R ( M 1 , k ) → Tor i R ( M , k ) → f Tor i R ( M , k ) , i ≥ pd R M . {\displaystyle 0=\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){\overset {f}{\to }}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd} _{R}M.} しかしここで f は k を殺すので 0 である。したがって、 Tor i + 1 R ( M 1 , k ) ≃ Tor i R ( M , k ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)} でありその結果 pd R M 1 = 1 + pd R M {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M} である。これを使って、次を得る。
pd R k = 1 + pd R ( R / ( f 1 , … , f n − 1 ) ) = ⋯ = n . {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=1+\operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{n-1}))=\cdots =n.} 逆の証明は dim R {\displaystyle \operatorname {dim} R} についての帰納法による。inductive step を先にやる。 f 1 {\displaystyle f_{1}} をパラメータ系の元として R 1 = R / f 1 R {\displaystyle R_{1}=R/f_{1}R} とおく。R が正則であることを示すためには、 R 1 {\displaystyle R_{1}} が正則であることを示せば十分である。しかし、 dim R 1 < dim R {\displaystyle \dim R_{1}<\dim R} であるので、帰納法の仮定と前の補題で M = k {\displaystyle M=k} としたものによって、
pd R k = g l . d i m R < ∞ ⇒ pd R 1 k = g l . d i m R 1 < ∞ ⇒ R 1 regular . {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {pd} _{R_{1}}k=\operatorname {gl.dim} R_{1}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.} basic step が残っている。 dim R = 0 {\displaystyle \operatorname {dim} R=0} とする。 g l . d i m R {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R} が有限であれば 0 であると主張する。(このことは R が半単純環 、すなわち体であることを意味している。)もしそうでないと仮定すると、ある有限加群 M {\displaystyle M} が存在して 0 < pd R M < ∞ {\displaystyle 0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty } であり、したがって実は pd R M = 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1} であるような M が存在する。中山の補題によって、全射 u : F → M {\displaystyle u:F\to M} であって u ⊗ 1 : F ⊗ k → M ⊗ k {\displaystyle u\otimes 1:F\otimes k\to M\otimes k} が同型であるようなものが存在する。K でその核を表記すれば、
0 → K → F → u M → 0 {\displaystyle 0\to K\to F{\overset {u}{\to }}M\to 0} . pd R K = pd R M − 1 = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1=0} であるので、K は自由である。 dim R = 0 {\displaystyle \operatorname {dim} R=0} であるので、極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} は R の素因子 である。すなわち、ある s ∈ R に対して m = ann ( s ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)} である。 K ⊂ m M {\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}M} であるので、 s K = 0 {\displaystyle sK=0} である。K は 0 でないので、このことは s = 0 {\displaystyle s=0} を意味し、矛盾である。証明が完了した。
R を環とし M をその上の加群とする。R の元の列 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} は次のとき正則列 と呼ばれる。 x 1 {\displaystyle x_{1}} は M {\displaystyle M} の零因子でなく、 x i {\displaystyle x_{i}} は各 i = 2 , … , n {\displaystyle i=2,\dots ,n} について M / ( x 1 , … , x i − 1 ) M {\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{i-1})M} の零因子でない。
R を局所環とし、その極大イデアルを m とする。すると、M の深さ は m における任意の極大正則列 x i {\displaystyle x_{i}} の長さの上限である。 depth M ≤ dim R {\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \operatorname {dim} R} であることを(例えば帰納法によって)示すのは容易である。R の深さが次元に等しいとき、R はコーエン・マコーレー環 と呼ばれる。
命題 ― depth M = sup { n | Ext R i ( k , M ) = 0 , i < n . } {\displaystyle \operatorname {depth} M=\sup\{n|\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0,i<n.\}}
Auslander–Buchsbaum formula は深さと射影次元を関係づける。
定理 ― M をネーター局所環 R 上有限加群であるとする。 pd R M < ∞ {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty } であれば、
pd R M + depth M = depth R . {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} M=\operatorname {depth} R.}
Part II of Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry , Graduate Texts in Mathematics, 150 , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8 , MR 1322960 . Chapter 10 of Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8 . Kaplansky, Irving , Commutative rings , Allyn and Bacon, 1970. Weibel, Charles A. (1995). An Introduction to Homological Algebra . Cambridge University Press