Hom関手

圏論において、対象の間のの集合(hom-setともいう)は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手(ほむかんしゅ、英語: Hom functor)と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。

定義

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C局所的に小さな圏英語版、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合であるとする。C の中のすべての対象 AB に対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。

Hom (A, _) : CSet Hom (_, B) : CopSet
共変関手 Hom(A, _) は以下で与えられる:
  • Hom(A, _)C の各対象 X を集合 Hom(A, X) へ写す。
  • Hom(A, _)C の各射 f : XY を、 で定義される写像 Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y) へ写す。
反変関手 Hom(_, B) は以下で与えられる:
  • Hom(_, B)C の各対象 X を集合 Hom(X, B) へ写す。
  • Hom(_, B)C の各射 h : XY を、 で定義される写像 Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B) へ写す。

関手 Hom(_, B) は、B点の関手英語版英語: functor of points)とも呼ばれる。関手のペア Hom(A, _)Hom(_, B)自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア f : BB' h : A' A に対して、次の図式が可換となる。

2つの経路は g : ABfgh : A' B' に写す。

上の図式の可換性は、Hom(_, _)C × C から Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手英語版であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手である。CopC逆圏である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、HomC (_, _) という記号が使われることもある。

米田の補題

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上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' A自然変換を与え、すべての射 f : BB' は自然変換を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 C から関手圏 SetCop への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。

内部Hom関手

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C 上の関手が、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば

と書かれたり、と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで

と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏英語版と呼ばれる。


閉圏の単位対象I とする。このとき、次の同型が成り立つ。閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、

である。ここで モノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は XZ の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 内部Homと呼ぶ。デカルト積 であるとき、対象 指数対象と呼び、 と書くこともある。

内部Homは、圏の内部言語英語版と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システム英語版がある。

性質

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  • 次の形の関手は前層である:同様に、Hom(A, _) の形の関手は余前層である。
  • 関手 F : CSet がある Hom(A, _)自然に同型であるとき、F表現可能関手であるという。同様に、Hom(_, A) に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。
  • 関手 Hom(_, _) : Cop × CSet は定義からプロファンクタ英語: Profunctorであり、特に恒等プロファンクタ である。
  • 内部hom関手は極限を保存する。すなわち、hom(X, _) : CC は極限を極限へ写し、同様に hom(_, X) : CopCCop の極限(すなわち C の余極限)を C の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。
  • A をアーベル圏、AA の対象とすると、HomA (A, _) は、A からアーベル群の圏 Ab への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A射影的対象であることとは同値である[1]

関連項目

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脚注

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  1. ^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

参考文献

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  • Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8 
  • Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3 2009年11月25日閲覧。 
  • Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7 

外部リンク

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